धारा की निचली सीमा और ऊपरी सीमा के अनुपात का सूत्र क्या है?

Question

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D: ये सभी

Explanation & Concepts:
DC मोटर स्टार्टर में, विशेष रूप से श्रेणीबद्ध प्रतिरोध अनुभागों वाले तीन-पॉइंट और चार-पॉइंट स्टार्टर में, धारा की ऊपरी सीमा $I_1$ और धारा की निचली सीमा $I_2$ को स्टार्ट करने की प्रक्रिया के दौरान स्थिर सीमाओं के बीच रखा जाता है। धारा की निचली सीमा और ऊपरी सीमा का अनुपात, $\frac{I_2}{I_1}$, प्रतिरोध चरणों से संबंधित होता है: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{R_3}{R_2} = \dots = \frac{R_{n+1}}{R_n} = \left(\frac{R_{n+1}}{R_1}\right)^{\frac{1}{n}}$। चूंकि आर्मेचर प्रतिरोध $r_a = R_{n+1}$ होता है, इसलिए विकल्प B एक समतुल्य निरूपण है, जिससे 'ये सभी' सही उत्तर बन जाता है।

Working Principle: स्टार्टिंग के दौरान, जैसे ही स्टार्टर हैंडल को स्टड से स्टड पर घुमाया जाता है, धारा $I_1$ (ऊपरी सीमा) और $I_2$ (निचली सीमा) के बीच उतार-चढ़ाव करती है। सभी स्टड में धारा के उतार-चढ़ाव को समान रखने के लिए, अनुभागों का प्रतिरोध एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाता है। $n$ समान प्रतिरोध अनुपात चरणों का गुणनफल लेने पर $\left(\frac{I_2}{I_1}\right)^n = \frac{R_{n+1}}{R_1}$ प्राप्त होता है, जो $\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{R_{n+1}}{R_1}\right)^{\frac{1}{n}} = \left(\frac{r_a}{R_1}\right)^{\frac{1}{n}}$ देता है।

Key Formulas: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{R_{k+1}}{R_k}$ — प्रत्येक स्टड अनुभाग के लिए निचली से ऊपरी धारा सीमा का अनुपात; $\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{R_{n+1}}{R_1}\right)^{\frac{1}{n}} = \left(\frac{r_a}{R_1}\right)^{\frac{1}{n}}$ — कुल स्टार्टिंग प्रतिरोध और आर्मेचर प्रतिरोध के पदों में व्यक्त धारा अनुपात

Key Points: धारा के झटकों (current surges) को कम करने के लिए, स्टार्टर प्रतिरोध अनुभागों को इस तरह डिज़ाइन किया जाता है कि प्रतिरोध मान एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं।; प्रतिरोध चरणों की कुल संख्या को $n$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें $R_1$ (कुल प्रतिरोध) से $R_{n+1} = r_a$ (आर्मेचर प्रतिरोध) तक कुल $n+1$ प्रतिरोध मान होते हैं।; चूंकि $\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_3}{R_2} = \dots = \frac{R_{n+1}}{R_n}$ होता है, इसलिए इन $n$ अनुपातों का गुणनफल $\frac{R_{n+1}}{R_1} = \left(\frac{I_2}{I_1}\right)^n$ होता है।

Advantages: मोटर के त्वरण के दौरान समान धारा सीमाएं सुनिश्चित करता है; पीक धाराओं को सीमित करके आर्मेचर वाइंडिंग को तापीय क्षति (thermal damage) से बचाता है

Disadvantages: प्रतिरोध मानों की सटीक गणना और टेपरिंग की आवश्यकता होती है; स्टार्ट-अप के दौरान स्टार्टिंग प्रतिरोधकों में ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट होती है

Applications: DC शंट और कम्पाउंड मोटरों के लिए तीन-पॉइंट और चार-पॉइंट स्टार्टर का डिज़ाइन; 3-फेज स्लिप रिंग इंडक्शन मोटरों के लिए रोटर प्रतिरोध स्टार्टर का डिज़ाइन

Additional Info: विकल्प A धारा अनुपात के लिए चरण-दर-चरण प्रतिरोध अनुपात समतुल्यता देता है।. विकल्प B $R_{n+1}$ के स्थान पर आर्मेचर प्रतिरोध $r_a$ को प्रतिस्थापित करता है।. विकल्प C कुल प्रतिरोध $R_1$ और अंतिम प्रतिरोध चरण $R_{n+1}$ को शामिल करते हुए मानक n-वें मूल रूप को प्रस्तुत करता है।. इसलिए, विकल्प A, B और C सभी धारा सीमा अनुपात के लिए वैध व्यंजक हैं।

Answer: D सही है — तीनों समीकरण DC मोटर स्टार्टर डिज़ाइन में धारा की निचली सीमा और धारा की ऊपरी सीमा के अनुपात ($\frac{I_2}{I_1}$) को सही ढंग से निरूपित करते हैं।

Exam Tip: GATE और ESE जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में, याद रखें कि यदि स्टार्टर प्रतिरोध चरण GP बनाते हैं, तो उभयनिष्ठ अनुपात $K = \frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_a}{R_1}\right)^{1/n}$ होता है। स्टड की संख्या हमेशा $n+1$ होती है जहाँ $n$ प्रतिरोध अनुभागों की संख्या है।

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Option A: I2I1=R2R1=R3R2=R4R3=Rn+1Rn

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Option B: I2I1=raR11n

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Option C: I2I1=Rn+1R11n

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