विभिन्न सेक्शन प्रतिरोध (section resistance) का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित में से किस सूत्र का उपयोग किय

Question

विभिन्न सेक्शन प्रतिरोध (section resistance) का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित में से किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?

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D: उपर्युक्त सभी (All of these)

Explanation & Concepts:
DC मोटर स्टार्टर डिज़ाइन (जैसे कि प्रतिरोध स्टार्टर) में, आर्मेचर स्टार्टिंग धारा को सुरक्षित सीमाओं के भीतर सीमित करने के लिए कुल स्टार्टिंग प्रतिरोध को $n$ अनुभागों (sections) में विभाजित किया जाता है। इन व्यक्तिगत अनुभागों के प्रतिरोध मान एक स्थिर अनुपात $\alpha$ के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाते हैं। परिणामस्वरूप, सूचीबद्ध सभी समीकरण गणितीय रूप से समतुल्य व्यंजक हैं जिनका उपयोग $n$-वें अनुभाग के प्रतिरोध की गणना के लिए किया जाता है।

Working Principle: DC मोटर को स्टार्ट करते समय, जैसे-जैसे मोटर गति पकड़ती है और बैक EMF ($E_b$) का निर्माण करती है, स्टार्टिंग प्रतिरोध को चरणों में बाहर (cut out) कर दिया जाता है। प्रत्येक चरण में समान उच्च धारा स्पाइक्स के लिए, प्रत्येक चरण के बाद कुल परिपथ प्रतिरोध ($R_1, R_2, \dots, R_n$) एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं जहाँ $R_{n+1} = \alpha R_n$ या $\alpha = R_{n+1}/R_n

Key Formulas: $r_n = R_n - R_{n+1}$ — कुल परिपथ प्रतिरोधों के अंतर के रूप में $n$-वें अनुभाग का प्रतिरोध; $r_n = \alpha \cdot r_{n-1}$ — आसन्न सेक्शन प्रतिरोधों के बीच पुनरावर्ती (recursive) संबंध; $r_n = \alpha^{n-1} \cdot r_1$ — पहले सेक्शन प्रतिरोध $r_1$ के पदों में सेक्शन प्रतिरोध; $\alpha = \left(\frac{R_m}{R_1}\right)^{\frac{1}{n-1}} = \frac{I_{min}}{I_{max}}$ — $n$-चरण वाले स्टार्टर के लिए प्रतिरोध अनुपात स्थिरांक

Key Points: व्यक्तिगत अनुभागों के प्रतिरोध $r_1, r_2, r_3, \dots, r_n$ गुणोत्तर श्रेणी में घटते हैं।; $\alpha$ न्यूनतम स्टार्टिंग धारा ($I_{min}$) का अधिकतम स्टार्टिंग धारा ($I_{max}$) से अनुपात है, जहाँ $\alpha; $R_n$ उस समय कुल परिपथ प्रतिरोध को दर्शाता है जब स्टड $n$-वें चरण पर होता है।

Advantages: स्टार्टिंग के प्रत्येक चरण के दौरान समान ऊपरी धारा सीमाओं ($I_{max}$) और निचली धारा सीमाओं ($I_{min}$) को सुनिश्चित करता है।; अत्यधिक धारा स्पाइक्स के बिना DC मोटर का सुचारू त्वरण (acceleration) प्रदान करता है।

Disadvantages: गैर-समान प्रतिरोध चरणों की सटीक गणना की आवश्यकता होती है।; स्टार्टिंग चरण के दौरान बाहरी प्रतिरोध में बिजली की हानि (power loss) होती है।

Applications: DC शंट और श्रेणी मोटरों के लिए मल्टी-स्टेप प्रतिरोध स्टार्टर्स का डिज़ाइन।; 3-फेज स्लिप रिंग इंडक्शन मोटरों के लिए रोटर प्रतिरोध स्टार्टर्स।

Additional Info: विकल्प A सही है क्योंकि $r_n$ को सीधे चरण $n$ ($R_n$) और चरण $n+1$ ($R_{n+1}$) पर कुल परिपथ प्रतिरोध के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।. विकल्प B और विकल्प C सही हैं क्योंकि सेक्शन प्रतिरोध उभयनिष्ठ अनुपात (common ratio) $\alpha$ के साथ GP में घटते हैं, इसलिए $r_n = \alpha r_{n-1} = \alpha^{n-1} r_1$ है।. इसलिए, विकल्प D ('उपर्युक्त सभी') सही विकल्प है।

Answer: D सही है — दिए गए तीनों व्यंजक DC मोटर स्टार्टर में सेक्शन प्रतिरोध के मान को निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले वैध गणितीय संबंध हैं।

Exam Tip: याद रखें कि $n$ अनुभागों (और $n+1$ स्टड) वाले स्टार्टर के लिए, प्रतिरोध अनुपात $\alpha = \frac{I_{min}}{I_{max}} = \left(\frac{R_{armature}}{R_1}\right)^{\frac{1}{n}}$ होता है। चरणों की संख्या या प्रति सेक्शन प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए आंकिक प्रश्नों में इस संबंध का सीधे उपयोग करें।

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Option A: $r_n = R_n - R_{n+1}$

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Option B: $r_n = \alpha^{n-1} r_1$

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Option C: $r_n = \alpha r_{n-1}$

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