विभिन्न स्टड प्रतिरोध (Stud resistance) का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित में से किस सूत्र का उपयोग किया जात

Question

विभिन्न स्टड प्रतिरोध (Stud resistance) का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित में से किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?

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D: इनमें से सभी (All of these)

Explanation & Concepts:
DC मोटर स्टार्टर (जैसे फेसप्लेट स्टार्टर) या फील्ड रेगुलेटर में, कुल प्रतिरोध को कई चरणों में विभाजित किया जाता है जिन्हें स्टड (studs) कहा जाता है। प्रत्येक व्यक्तिगत स्टड का प्रतिरोध या किसी दिए गए स्टड ($R_n$) तक का कुल प्रतिरोध गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) या योगात्मक स्टड मानों के आधार पर विभिन्न तुल्य गणितीय सूत्रों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए सभी व्यंजक विभिन्न अनुक्रमण (indexing) और विन्यास निरूपण के तहत स्टड प्रतिरोध मानों को सही ढंग से संबंधित करते हैं।

Working Principle: DC मोटर को स्टार्ट करते समय, जैसे-जैसे मोटर की गति बढ़ती है और बैक EMF विकसित होता है, प्रतिरोध चरणों को धीरे-धीरे काटकर शुरुआती धारा को सीमित किया जाना चाहिए। लगातार संपर्कों (स्टड) के बीच के प्रतिरोध अनुभागों को इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि शुरुआती धारा की ऊपरी और निचली सीमाएं सभी चरणों में स्थिर रहें, जिससे एक गुणोत्तर श्रेणी बनती है जहाँ $R_n = \alpha R_{n-1}$ या $R_n = \alpha^{n-1} R_1$ होता है। इसके अलावा, व्यक्तिगत चरण प्रतिरोधों $r_n$ के संदर्भ में व्यक्त करने पर, स्टड $n$ पर कुल प्रतिरोध $R_n = r_n + R_{n+1}$ द्वारा दिया जाता है।

Key Formulas: $R_n = r_n + R_{n+1}$ — एलिमेंट प्रतिरोध $r_n$ और शेष प्रतिरोध $R_{n+1}$ के योग के रूप में स्टड $n$ पर कुल प्रतिरोध; $R_n = \alpha R_{n-1}$ — गुणोत्तर श्रेणी अनुपात $\alpha$ का उपयोग करके स्टड $n$ पर प्रतिरोध; $R_n = \alpha^{n-1} R_1$ — पहले स्टड प्रतिरोध $R_1$ के संदर्भ में व्यक्त स्टड $n$ पर कुल प्रतिरोध

Key Points: DC मोटर स्टार्टर में स्टड प्रतिरोध चरणों को गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में वर्गीकृत किया जाता है ताकि अधिकतम और न्यूनतम धारा सीमाएं सभी चरणों में समान रहें।; नियत अनुपात $\alpha = \frac{I_{min}}{I_{max}}; जैसे-जैसे स्टार्टर हैंडल स्टड 1 से अंतिम रनिंग स्टड की ओर बढ़ता है, कुल स्टार्टर प्रतिरोध $R_1$ चरण-दर-चरण घटता जाता है।

Advantages: प्रत्येक स्विचिंग चरण के दौरान समान पीक धारा सुनिश्चित करता है।; मोटर के त्वरण (acceleration) के दौरान धारा में उछाल और टॉर्क स्पाइक्स को रोकता है।

Disadvantages: प्रत्येक स्टड के लिए सटीक गणना और कस्टम प्रतिरोध तत्व आकारों की आवश्यकता होती है।

Applications: DC शंट और कंपाउंड मोटरों के लिए 3-पॉइंट और 4-पॉइंट स्टार्टर का डिज़ाइन।; स्लिप-रिंग इंडक्शन मोटरों के लिए रोटर रेजिस्टेंस स्टार्टर।

Additional Info: विकल्प A ($R_n = r_n + R_{n+1}$) प्रति चरण प्रतिरोध विभाजन को दर्शाता है।. विकल्प B ($R_n = \alpha^{n-1} R_1$) G.P. अनुक्रम की शुरुआत से स्टड $n$ पर कुल प्रतिरोध देता है।. विकल्प C ($R_n = \alpha R_{n-1}$) लगातार कुल प्रतिरोध मानों के बीच पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relation) को दर्शाता है।

Answer: D सही है — सूचीबद्ध सभी सूत्र स्टेप्ड स्टार्टर और रेगुलेटर में स्टड प्रतिरोध संबंधों को दर्शाने वाले वैध व्यंजक हैं।

Exam Tip: DC स्टार्टर डिज़ाइन प्रश्नों में, याद रखें कि स्टड प्रतिरोध एक G.P. ($R_1, R_2, R_3, \dots, R_n$) बनाते हैं जबकि इष्टतम शुरुआत के लिए धारा सीमाएं ($I_{max}$ और $I_{min}$) स्थिर रखी जाती हैं।

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Option A: $R_n = r_n + R_{n+1}$

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Option B: $R_n = \alpha^{n-1} R_1$

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Option C: $R_n = \alpha R_{n-1}$

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