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यदि 20 m चाप (arc) के लिए वक्रता की डिग्री (degree of curvature) 5° है और विक्षेपण कोण (deflection angle) 100˚ दिया गया है, तो वक्र की लंबाई कितनी होगी?
A) 320 m
B) 480 m
C) 600 m
D) 400 m
400 m
दी गई चाप लंबाई की परिभाषा के लिए एक साधारण वृत्ताकार वक्र की लंबाई सीधे उसके विक्षेपण कोण (केंद्र कोण) के समानुपाती होती है। वक्रता की डिग्री, चाप की लंबाई और विक्षेपण कोण के बीच संबंध का उपयोग करते हुए, वक्र की कुल लंबाई की गणना 400 m की जाती है।
दी गई चाप लंबाई की परिभाषा के लिए एक साधारण वृत्ताकार वक्र की लंबाई सीधे उसके विक्षेपण कोण (केंद्र कोण) के समानुपाती होती है। वक्रता की डिग्री, चाप की लंबाई और विक्षेपण कोण के बीच संबंध का उपयोग करते हुए, वक्र की कुल लंबाई की गणना 400 m की जाती है।
ΔL=Ds — मूल चाप लंबाई-विक्षेपण संबंध
L=Ds×Δ — वक्र की लंबाई (L) के लिए सूत्र
R=D1146 — 20 m चाप के लिए वक्र की त्रिज्या
वक्रता की डिग्री (D) मानक लंबाई (s=20 m) के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण को दर्शाती है। समानुपात द्वारा, वक्र की कुल लंबाई (L) का कुल विक्षेपण कोण (Δ) से अनुपात, मानक चाप लंबाई (s) के वक्र की डिग्री (D) से अनुपात के बराबर होता है।
वक्र की डिग्री (D) को या तो चाप परिभाषा (20 m या 30 m) या जीवा (chord) परिभाषा द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
20 m चाप परिभाषा के लिए, R=D1145.92≈D1146 m।
विक्षेपण कोण (Δ) वृत्ताकार वक्र द्वारा अंतरित कुल केंद्रीय कोण के बराबर होता है।
सरल रैखिक समानुपात विधि त्रिज्या ज्ञात किए बिना त्वरित क्षेत्र गणना की अनुमति देती है।
20 m और 30 m दोनों चाप परिभाषा परिपाटियों पर सीधे लागू होती है।
यह एकसमान वक्रता मानती है, जो केवल साधारण वृत्ताकार वक्रों पर लागू होती है, संक्रमण वक्रों (transition curves) पर नहीं।
साधारण वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करने के लिए सड़कों और रेलवे का संरेखण डिजाइन (alignment design)।
चेनेज और विक्षेपण कोणों का उपयोग करके वक्र लेआउट के लिए सर्वेक्षण गणना।
विकल्प A (320 m): D=6.25° या गलत अनुपात का उपयोग करने के कारण हुई गलत गणना।
विकल्प B (480 m): गणितीय त्रुटि या गलत इनपुट के साथ 30 m चाप सूत्र (30×100/5=600 m) का उपयोग करने से प्राप्त गलत गणना।
विकल्प C (600 m): यह 30 m चाप परिभाषा (L=530×100=600 m) से मेल खाता है, लेकिन प्रश्न में 20 m चाप निर्दिष्ट है।
D सही है — L=Ds×Δ का उपयोग करने पर, L = \frac{20 \times 100°{5° = 400\text{ m}।
GATE/ESE परीक्षाओं में वक्र की लंबाई या त्रिज्या की गणना करने से पहले हमेशा जांचें कि वक्रता की डिग्री 20 m चाप के लिए निर्दिष्ट है या 30 m चाप के लिए।