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ElectricalElectromagnetics Field Theory

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स्थिर क्षेत्रों (static fields) के लिए निम्नलिखित में से कौन सी सर्वसमिका (identity) हमेशा शून्य होती है?

Grad(Curl V)

Curl(Div V)

Div(Grad V)

Curl(Grad V)

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतElectricalElectromagnetics Field Theory

Curl(Grad V)

Quick Summary:

सर्वसमिका $\nabla \times (\nabla V) = 0$ वेक्टर कलन की एक मौलिक सर्वसमिका है जो किसी भी अदिश क्षेत्र $V$ के लिए सत्य है जो दो बार सतत रूप से अवकलनीय (twice continuously differentiable) हो। विद्युत चुंबकत्व में, इसका अर्थ है कि एक स्थिर विद्युत क्षेत्र (एक विद्युत अदिश विभव का ग्रेडिएंट) का कर्ल हमेशा शून्य होता है, जो इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों की संरक्षी प्रकृति के अनुरूप है।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$\vec{E} = -\nabla V$ — स्थिर विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच संबंध

$\nabla \times \vec{E} = 0$ — स्थिर विद्युत क्षेत्रों का संरक्षी गुण

⚙️ Working Principle

यह सिद्धांत इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि एक सुचारू अदिश फलन के आंशिक अवकलज क्रमविनिमेय होते हैं ( $\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial x}$ )। जब ग्रेडिएंट पर कर्ल ऑपरेटर लागू किया जाता है, तो मिश्रित आंशिक अवकलज घटकर शून्य हो जाते हैं।

📌 Key Points

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किसी भी अदिश क्षेत्र का ग्रेडिएंट एक अघूर्णी (irrotational) वेक्टर क्षेत्र होता है।
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एक संरक्षी क्षेत्र वह है जहाँ एक बंद पथ के साथ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।
▸
यह सर्वसमिका इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव $V$ को परिभाषित करने के लिए केंद्रीय है।

✅ Advantages

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वेक्टर क्षेत्रों के अदिश विभव निरूपण की अनुमति देता है
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स्थिर स्थितियों के लिए मैक्सवेल के समीकरणों को सरल बनाता है

❌ Disadvantages / Limitations

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समय-परिवर्तनशील क्षेत्रों पर लागू नहीं होता जहाँ $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ होता है

🛠️ Applications / Uses

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इलेक्ट्रोस्टैटिक्स (विभव की गणना)
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द्रव गतिकी (अघूर्णी प्रवाह विश्लेषण)

📄 Additional Information

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विकल्प A: $\nabla (\nabla \times \vec{A}) = 0$ एक कर्ल का डाइवर्जेंस है, जो क्रॉस प्रोडक्ट ऑपरेटर की समरूपता के कारण हमेशा शून्य होता है।
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विकल्प C: $\nabla \cdot (\nabla V) = \nabla^2 V$ (V का लाप्लासियन), जो आवश्यक रूप से शून्य नहीं होता है (उदाहरण के लिए, आवेश घनत्व वाले क्षेत्र में)।

📊 Diagram / Illustration

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D सही है — किसी भी अदिश क्षेत्र के ग्रेडिएंट का कर्ल गणितीय रूप से शून्य वेक्टर के बराबर होता है।

Core Concepts Used

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वेक्टर कलन सर्वसमिकाएं इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव संरक्षी क्षेत्र

💡 EXAM TIP

याद रखें कि समय-परिवर्तनशील क्षेत्रों (इलेक्ट्रोडायनामिक्स) में, फैराडे के नियम के कारण विद्युत क्षेत्र का कर्ल गैर-शून्य होता है; हमेशा जांचें कि क्या प्रश्न 'स्थिर' स्थितियों को निर्दिष्ट करता है।

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