निम्नलिखित में से कौन सा चापों के द्विभाजन (bisection of arcs) की रैखिक विधि के सूत्र को दर्शाता है?

Question

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A: $R - \sqrt{R^2 - (\frac{L}{2})^2}$

Explanation & Concepts:
सर्वेक्षण (surveying) में, चापों के द्विभाजन की रैखिक विधि का उपयोग वृत्ताकार वक्र पर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सूत्र $h = R - \sqrt{R^2 - (L/2)^2}$ त्रिज्या $R$ और जीवा की लंबाई $L$ वाले एक वृत्ताकार वक्र के मध्य-कोटि (versed sine) को दर्शाता है।

Working Principle: यह सिद्धांत त्रिज्या, आधी जीवा की लंबाई और केंद्र से जीवा तक की दूरी द्वारा निर्मित एक समकोण त्रिभुज के भीतर पाइथागोरस प्रमेय पर निर्भर करता है। कुल त्रिज्या $R$ में से केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी ($\sqrt{R^2 - (L/2)^2}$) घटाने पर चाप खंड की ऊंचाई प्राप्त होती है।

Key Formulas: $h = R - \sqrt{R^2 - (\frac{L}{2})^2}$ — वृत्ताकार वक्र की मध्य-कोटि (mid-ordinate) के लिए सूत्र।

Key Points: मध्य-कोटि, जीवा के मध्य बिंदु से चाप के मध्य बिंदु तक की लंबवत दूरी है।; यह विधि राजमार्ग और रेलवे इंजीनियरिंग में सरल वृत्ताकार वक्रों को निर्धारित करने में एक मौलिक ज्यामितीय गणना है।; पद $\sqrt{R^2 - (L/2)^2}$ 'एपोथेम' (apothem) को दर्शाता है, जो वृत्त के केंद्र से जीवा तक की दूरी है।

Advantages: सरल ज्यामितीय गणना जिसमें केवल बुनियादी त्रिकोणमिति या बीजगणित की आवश्यकता होती है।; फील्ड सर्वेक्षणों में वृत्ताकार चापों के छोटे खंडों को परिभाषित करने के लिए अत्यधिक सटीक।

Disadvantages: लंबी जीवाओं को मापते समय उच्च सटीकता की आवश्यकता होती है।; विशिष्ट संशोधनों के बिना गैर-वृत्ताकार वक्रों पर लागू नहीं होता।

Applications: राजमार्ग संरेखण और वक्र निर्धारण।; रेलवे ट्रैक ज्यामिति डिजाइन।; सामान्य भूगर्भीय सर्वेक्षण जहाँ चाप-आधारित बिंदु स्थान की आवश्यकता होती है।

Additional Info: वर्गमूल के अंदर का पद, $R^2 - (L/2)^2$, हमेशा धनात्मक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि जीवा की लंबाई $L$, व्यास $2R$ से अधिक नहीं हो सकती।. विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे वर्गमूल के अंदर योग (जोड़) का उपयोग करते हैं, जो वृत्ताकार खंड की ज्यामिति के अनुरूप नहीं है।

Answer: A सही है — सूत्र $R - \sqrt{R^2 - (L/2)^2}$ वृत्त में पाइथागोरस संबंध के आधार पर वृत्ताकार चाप की मध्य-कोटि की सही गणना करता है।

Exam Tip: वक्र ज्यामिति के लिए अपने रेडिकल व्यंजकों में स्थिरांक के चिह्न की हमेशा जांच करें; घटाव ($R^2 - (L/2)^2$) वृत्ताकार खंडों के लिए मानक है जबकि जोड़ आमतौर पर दूरी सूत्रों से संबंधित होता है।

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Option B: $R + \sqrt{R^2 - (\frac{L}{2})^2}$

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Option C: $R - \sqrt{R^2 + (\frac{L}{2})^2}$

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Option D: $R + \sqrt{R^2 + (\frac{L}{2})^2}$

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