लंबवत ऑफसेट (perpendicular offset) के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सूत्र दिया जा सकता है

Question

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B: $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$

Explanation & Concepts:
राजमार्ग और रेलवे इंजीनियरिंग में, दीर्घ जीवा (long chord) से ऑफसेट द्वारा साधारण वृत्ताकार वक्रों (simple circular curves) को स्थापित करना एक सामान्य फ़ील्ड विधि है। दीर्घ जीवा के मध्य बिंदु (जहाँ वर्साइन या मध्य-निर्देशांक $O_0$ स्थित है) से मापी गई किसी भी दूरी $x$ पर लंबवत ऑफसेट $O_x$ की गणना $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - (R - O_0)$ के रूप में की जाती है, जो स्पर्शरेखा चाप आधार रेखा (tangent arc baseline) परिभाषा से सीधे संदर्भित होने पर $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ में सरल हो जाता है।

Working Principle: $O$ पर केंद्रित त्रिज्या $R$ के एक वृत्ताकार वक्र पर विचार करें। मान लीजिए कि दीर्घ जीवा का मध्य बिंदु $M$ है, जहाँ ऑफसेट अधिकतम ($O_0$) है। दीर्घ जीवा के साथ $M$ से $x$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु के लिए, वक्र पर लंबवत ऑफसेट $O_x$ है। त्रिज्या, ऑफसेट और दूरी $x$ द्वारा गठित समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हुए, ज्यामिति से $(R - O_x)^2 + x^2 = R^2$ प्राप्त होता है, जो सीधे $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ के रूप में हल होता है।

Key Formulas: $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ — स्पर्शरेखा से सटीक लंबवत ऑफसेट; $O_x \approx \frac{x^2}{2R}$ — जब $x \ll R$ हो तो लंबवत ऑफसेट के लिए अनुमानित सूत्र; $O_0 = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2}$ — वर्साइन या मध्य-निर्देशांक सूत्र

Key Points: अधिकतम ऑफसेट जीवा के केंद्र ($x = 0$) पर होता है और इसे मध्य-निर्देशांक ($O_0$) कहा जाता है।; लंबवत ऑफसेट या तो दीर्घ जीवा से या स्पर्शरेखा रेखा से लिए जा सकते हैं।; सटीक व्यंजक $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ सीधे वृत्त की त्रिज्या वाले त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न होता है।

Advantages: टोटल स्टेशन जैसे उन्नत ऑप्टिकल उपकरणों की आवश्यकता के बिना सरल ज्यामितीय लेआउट विधि।; सड़क चौराहों और वृत्ताकार कल्वर्ट जैसे छोटे वक्रों के लिए अत्यधिक उपयुक्त।

Disadvantages: लंबे वक्रों के लिए त्रुटियों का संचय हो सकता है।; फ़ील्ड में सटीक समकोण मापों की आवश्यकता होती है जो लंबी दूरियों के लिए थकाऊ हो सकती है।

Applications: सड़क लेआउट और रेलवे पटरियों में साधारण वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करना।; सिविल निर्माण स्थल पर कर्ब लाइनों और वृत्ताकार सीमा संरचनाओं का संरेखण।

Additional Info: विकल्प A एक ऋणात्मक मान देता है क्योंकि $\sqrt{R^2-x^2}. विकल्प C एक गलत कर्ण गणना $\sqrt{R^2+x^2}$ से संबंधित है, जो वृत्त ज्यामिति के बाहर स्थित है।. विकल्प D करणी पद को जोड़ता है, जिसके परिणाम स्वरूप मान $R$ से अधिक हो जाते हैं, जो बिंदुओं को ज्यामितीय सीमा से बहुत बाहर रखता है।

Answer: B सही है — मध्य बिंदु/स्पर्श रेखा बिंदु से $x$ दूरी पर लंबवत ऑफसेट $O_x$ ज्यामितीय रूप से $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ के रूप में व्युत्पन्न होता है।

Exam Tip: GATE/ESE परीक्षाओं के लिए याद रखें: जब $x$, $R$ की तुलना में बहुत छोटा हो, तो द्विपद सन्निकटन $O_x \approx \frac{x^2}{2R}$ का उपयोग करें। जब भी सटीक संख्यात्मक गणना का अनुरोध किया जाए तो सटीक सूत्र $R - \sqrt{R^2 - x^2}$ का उपयोग करें।

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Option A: $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - R$

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Option C: $O_x = \sqrt{R^2 + x^2} - R$

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Option D: $O_x = R + \sqrt{R^2 - x^2}$

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