रेडियल ऑफसेट (radial offset) के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सूत्र दिया जा सकता है

Question

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C: $O_x = \sqrt{R^2 + x^2} - R$

Explanation & Concepts:
रेडियल ऑफसेट ($O_x$) सर्वेक्षण में स्पर्शरेखा (tangent) से वृत्तापीय वक्र (circular curve) पर बिंदुओं का पता लगाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि है। यह स्पर्शरेखा बिंदु से स्पर्शरेखा के साथ 'x' दूरी पर स्पर्शरेखा रेखा से वक्र तक की लंबवत दूरी को दर्शाता है।

Working Principle: एक वृत्तापीय वक्र में, स्पर्शरेखा बिंदु (T) तक की त्रिज्या, स्पर्शरेखा के साथ दूरी (x), और केंद्र से वक्र पर एक बिंदु तक की दूरी द्वारा बने त्रिभुज पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, वक्र के केंद्र से स्पर्शरेखा पर बिंदु तक की दूरी $\sqrt{R^2 + x^2}$ होती है। इस कर्ण (hypotenuse) में से त्रिज्या 'R' घटाने पर रेडियल ऑफसेट $O_x$ प्राप्त होता है।

Key Formulas: $O_x = \sqrt{R^2 + x^2} - R$ — रेडियल ऑफसेट दूरी; $R = \frac{1719}{D}$ — त्रिज्या और वक्र की डिग्री के बीच संबंध (डिग्री में)

Key Points: रेडियल ऑफसेट को स्पर्शरेखा के लंबवत मापा जाता है।; इसका उपयोग मुख्य रूप से बड़ी त्रिज्या वाले वक्रों को स्थापित करने के लिए किया जाता है।; स्पर्शरेखा बिंदु से दूरी 'x' बढ़ने पर ऑफसेट बढ़ता जाता है।

Advantages: फील्ड स्टाफ के लिए गणना करने में सरल।; वक्रों के छोटे हिस्सों के लिए कुशल।

Disadvantages: बहुत लंबे वक्रों के लिए उपयुक्त नहीं है क्योंकि त्रुटियाँ बढ़ जाती हैं।; सटीक समकोण माप की आवश्यकता होती है।

Applications: रेलवे ट्रैक संरेखण।; राजमार्ग ज्यामिति डिजाइन।; निर्माण सर्वेक्षण में वृत्तापीय वक्रों को स्थापित करना।

Additional Info: सूत्र यह मानता है कि ऑफसेट को दूरी x पर स्पर्शरेखा के लंबवत मापा जाता है।. विकल्प A और B गलत ज्यामितीय व्युत्पत्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें अक्सर कॉर्ड ऑफसेट के साथ भ्रमित किया जाता है।. विकल्प D आयामी रूप से असंगत है क्योंकि यह R से बड़ा मान देगा।

Answer: C सही है — रेडियल ऑफसेट $O_x$ गणितीय रूप से त्रिज्या और स्पर्शरेखा दूरी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज से व्युत्पन्न होता है, जिसमें कर्ण $\sqrt{R^2 + x^2}$ का उपयोग किया जाता है।

Exam Tip: हमेशा जांचें कि क्या ऑफसेट 'रेडियल' है (केंद्र से स्पर्शरेखा तक मापा गया) या कॉर्ड के 'लंबवत' है, क्योंकि इन विधियों के बीच सूत्र काफी भिन्न होते हैं।

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Option A: $O_x = \sqrt{R^2 - x^2} - R$

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Option B: $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$

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Option D: $O_x = R + \sqrt{R^2 - x^2}$

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