निम्न में से कौन सा तीन आघूर्ण प्रमेय (theorem of three moment) का समीकरण है?

Question

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C: MA l1 + 2MBl1+l2 + MC l2 =-6a1x1l1-6a2x2l2

Explanation & Concepts:
तीन आघूर्ण प्रमेय (क्लापेरॉन का प्रमेय) संरचनात्मक यांत्रिकी में एक मूलभूत विश्लेषणात्मक उपकरण है जिसका उपयोग निरंतर बीम (continuous beams) में आधार आघूर्ण (support moments) ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह तीन क्रमिक आधारों (A, B, और C) पर बेंडिंग मोमेंट और स्पैन पर लागू बाहरी भार के बीच एक रैखिक संबंध स्थापित करता है।

Working Principle: यह प्रमेय न्यूनतम कार्य के सिद्धांत या आंतरिक आधारों पर ढलान-विक्षेपण संगतता (slope-deflection compatibility) से उत्पन्न होता है। निरंतर कठोरता (EI) वाले निरंतर बीम के लिए, यह मानता है कि आधार एक ही स्तर पर हैं। यह अभिव्यक्ति केंद्रीय आधार पर विरूपण के संतुलन का प्रतिनिधित्व करती है, जो आंतरिक निरंतरता (आघूर्ण) और बाहरी लोडिंग (आघूर्ण क्षेत्रफल गुणों) के प्रभावों को संतुलित करती है।

Key Formulas: $M_A l_1 + 2M_B(l_1 + l_2) + M_C l_2 = -\frac{6a_1 x_1}{l_1} - \frac{6a_2 x_2}{l_2}$ — तीन क्रमिक आधारों A, B, और C के लिए सामान्य अभिव्यक्ति।; $\frac{a x}{l}$ — बाहरी आधार के बारे में मुक्त बेंडिंग मोमेंट आरेख के क्षेत्रफल आघूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है।

Key Points: अनिश्चित निरंतर बीम के लिए उपयोग किया जाता है।; निरंतर लचीली कठोरता ($EI$) मानता है।; मानक रूप के लिए आधार निपटान (support settlements) को शून्य होना आवश्यक है।; साधारण समर्थित बीम के सिरों पर बेंडिंग मोमेंट शून्य होते हैं।

Advantages: ढलान-विक्षेपण विधि की तुलना में निरंतर बीम के विश्लेषण को सरल बनाता है।; आवश्यक एक साथ समीकरणों (simultaneous equations) की संख्या को कम करता है।

Disadvantages: जड़त्व आघूर्ण ($I$) में भिन्नता का हिसाब रखना कठिन है।; बिना संशोधन के सीधे फ्रेम पर लागू नहीं किया जा सकता है।

Applications: बहु-स्पैन निरंतर बीम का विश्लेषण।; स्थैतिक रूप से अनिश्चित संरचनाओं में अतिरिक्त आघूर्ण की गणना।

Additional Info: सूचकांक $a_1, a_2$ क्रमशः स्पैन $l_1$ और $l_2$ के लिए मुक्त बेंडिंग मोमेंट आरेख के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करते हैं।. चर $x_1$ और $x_2$ बाहरी आधारों (A और C) से इन क्षेत्रों के सेंट्रोइड की दूरी हैं।

Answer: C सही है — तीन क्रमिक आधारों A, B, और C के लिए मानक क्लापेरॉन समीकरण $M_A l_1 + 2M_B(l_1 + l_2) + M_C l_2 = -\frac{6a_1 x_1}{l_1} - \frac{6a_2 x_2}{l_2}$ है।

Exam Tip: हमेशा क्रम याद रखें: बाहरी आधार A, केंद्रीय आधार B, बाहरी आधार C; गुणांक '2' हमेशा केंद्रीय आधार आघूर्ण ($M_B$) के साथ जुड़ा होता है।

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Option A: MB l1 + 2MAl1+l2 + MC l2 =-6a1x1l1-6a2x2l2

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Option B: MC l1 + 2MBl1+l2 + MA l2 =-6a1x1l1-6a2x2l2

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Option D: इनमें से कोई नहीं

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