इनमें से कौन सा Ybus मैट्रिक्स का एक गुण है

Question

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D: उपरोक्त सभी

Explanation & Concepts:
बस एडमिटेंस मैट्रिक्स ($Y_{bus}$) पावर सिस्टम विश्लेषण में एक मूलभूत उपकरण है, जो ट्रांसमिशन नेटवर्क में नोडल एडमिटेंस संबंधों का प्रतिनिधित्व करता है। यह अपनी विकर्ण प्रधानता (diagonal dominance), समरूपता और पावर ट्रांसमिशन ग्रिड की विरल प्रकृति के कारण उच्च विरलता (sparsity) द्वारा पहचाना जाता है।

Working Principle: $Y_{bus}$ का निर्माण प्रत्येक बस पर किरचॉफ के करंट लॉ (Kirchhoff's Current Law) का उपयोग करके किया जाता है। विकर्ण तत्व $Y_{ii}$ बस $i$ से जुड़े सभी एडमिटेंस का योग है, जबकि गैर-विकर्ण तत्व $Y_{ij}$ बस $i$ और $j$ के बीच का ऋणात्मक एडमिटेंस है। चूँकि $Y_{ij} = Y_{ji}$, मैट्रिक्स सममित है, और चूँकि प्रत्येक बस केवल कुछ अन्य बसों से जुड़ी होती है, इसलिए अधिकांश प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, जिससे यह विरल (sparse) हो जाता है।

Key Formulas: $Y_{ii} = \sum_{j=0}^{n} y_{ij}$ — बस $i$ पर कुल शंट और सीरीज एडमिटेंस का प्रतिनिधित्व करने वाला विकर्ण तत्व; $Y_{ij} = -y_{ij}$ — बस $i$ और $j$ के बीच एडमिटेंस के ऋणात्मक मान का प्रतिनिधित्व करने वाला गैर-विकर्ण तत्व

Key Points: समरूपता रैखिक निष्क्रिय नेटवर्क में रेसिप्रोसिटी प्रमेय (Reciprocity Theorem) से उत्पन्न होती है।; गॉस-सीडेल जैसे पुनरावृत्ति सॉल्वरों (iterative solvers) के लिए विकर्ण प्रधानता महत्वपूर्ण है।; एलयू अपघटन (LU decomposition) और विशेष भंडारण योजनाओं का उपयोग करके आधुनिक पावर फ्लो कार्यक्रमों में विरलता (sparsity) का लाभ उठाया जाता है।; गैर-शून्य तत्वों की संख्या आमतौर पर $2 	imes (lines) + (buses)$ होती है।

Advantages: पावर फ्लो समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में सरल बनाता है; विरलता के कारण कुशल मेमोरी उपयोग; सीधे नोडल वोल्टेज को इंजेक्ट की गई धाराओं से जोड़ता है

Disadvantages: यदि फेज-शिफ्टिंग ट्रांसफॉर्मर मौजूद हों तो यह गैर-सममित हो जाता है; सीधे हल करने के लिए इनवर्जन या फैक्टराइजेशन की आवश्यकता होती है

Applications: लोड फ्लो विश्लेषण; शॉर्ट सर्किट अध्ययन; स्थिरता विश्लेषण (Stability analysis)

Additional Info: यदि फेज-शिफ्टिंग ट्रांसफॉर्मर मौजूद हैं, तो मैट्रिक्स अपनी समरूपता खो देता है क्योंकि $y_{ij} 
eq y_{ji}$।. विरलता एक महत्वपूर्ण विशेषता है; एक n-बस सिस्टम के लिए, गैर-शून्य तत्वों की संख्या $n^2$ से काफी कम होती है।

Answer: D सही है — दिए गए सभी कथन पावर सिस्टम नेटवर्क विश्लेषण में $Y_{bus}$ मैट्रिक्स के गणितीय और संरचनात्मक गुणों का सटीक वर्णन करते हैं।

Exam Tip: समरूपता का मूल्यांकन करते समय हमेशा फेज-शिफ्टिंग ट्रांसफॉर्मर की जांच करें, क्योंकि वे $Y_{ij} = Y_{ji}$ की स्थिति को तोड़ देते हैं!

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Option A: विकर्ण तत्व (Diagonal elements) प्रभावी होते हैं

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Option B: विकर्ण से इतर तत्व (Off diagonal elements) सममित (symmetric) होते हैं

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Option C: एक विरल मैट्रिक्स (Sparse matrix)

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