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12 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले से 64 समान छोटे गोले बनाए जाते हैं, जहाँ छोटे गोलों का कुल आयतन बड़े गोले के आयतन के बराबर है। प्रत्येक छोटे गोले का व्यास (सेमी में) है:

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsMensuration

Quick Summary:

आयतन को बराबर करें: $R^3 = n \times r^3$ । चूँकि $n = 64$ और $R = 12$ , तब $r = \frac{12}{\sqrt[3]{64}} = \frac{12}{4} = 3$ सेमी। व्यास $2r = 6$ सेमी है।

📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

बड़े गोले की त्रिज्या R = 12 सेमी। छोटे गोलों की कुल संख्या n = 64। बड़े गोले का आयतन 64 छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर है।

🔢 Formula Used

V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3V=34​πr3

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

कई छात्र त्रिज्या (3 सेमी) की गणना करते हैं और व्यास (6 सेमी) ज्ञात करने के लिए इसे दोगुना करने के बजाय गलत विकल्प चुन लेते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

आयतन समानता स्थापित करें

बड़े गोले का आयतन 64 छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर है। मान लीजिए $R$ बड़े गोले की त्रिज्या है और $r$ एक छोटे गोले की त्रिज्या है।

43πR3=64×43πr3\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^334​πR3=64×34​πr3

समीकरण को सरल करें

त्रिज्याओं के बीच संबंध खोजने के लिए दोनों पक्षों से $\frac{4}{3} \pi$ को काट दें।

R3=64r3R^3 = 64r^3R3=64r3

छोटी त्रिज्या $r$ के लिए हल करें

$R = 12$ सेमी प्रतिस्थापित करते हुए, दोनों पक्षों का घनमूल लें।

r=R643=124=3 सेमीr = \frac{R}{\sqrt[3]{64}} = \frac{12}{4} = 3 \text{ सेमी}r=364​R​=412​=3 सेमी

व्यास की गणना करें

प्रश्न में छोटे गोले का व्यास पूछा गया है, जो $2r$ है।

d=2×3=6 सेमीd = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}d=2×3=6 सेमी

✅

A सही है क्योंकि प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या 3 सेमी है, जिससे व्यास 6 सेमी हो जाता है।

Core Concepts Used

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गोले का आयतन बीजगणितीय सरलीकरण त्रिज्या और व्यास रूपांतरण

💡 EXAM TIP

आयतन संरक्षण (ढलाई/पिघलना) की यह अवधारणा क्षेत्रमिति (mensuration) में अक्सर पूछी जाती है; स्केल फैक्टर को जल्दी खोजने के लिए हमेशा घनों के अनुपात को देखें।

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