एक वृत्त की त्रिज्या 8 cm है। एक जीवा AB इस प्रकार खींची जाती है कि केंद्र O से जीवा की दूरी 6 cm है। AB की लं

Question

एक वृत्त की त्रिज्या 8 cm है। एक जीवा AB इस प्रकार खींची जाती है कि केंद्र O से जीवा की दूरी 6 cm है। AB की लंबाई क्या है?

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The correct answer is A: $ 4\sqrt{15} \text{ cm} $. समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस त्रिक तर्क का उपयोग करें: अर्ध-जीवा लंबाई $\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ है। पूरी जीवा $2 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ cm है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस त्रिक तर्क का उपयोग करें: अर्ध-जीवा लंबाई $\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ है। पूरी जीवा $2 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ cm है।

Formula Used: $$L = 2 \times \sqrt{R^2 - d^2}$$

Given: वृत्त की त्रिज्या R = 8 cm, केंद्र से जीवा की दूरी d = 6 cm।

Steps: ज्यामितीय संबंध को परिभाषित करें: वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जिसमें त्रिज्या कर्ण होती है, केंद्र से दूरी एक भुजा होती है, और जीवा की आधी लंबाई दूसरी भुजा होती है।. अर्ध-जीवा लंबाई की गणना करें: अर्ध-जीवा लंबाई ($x$) ज्ञात करने के लिए दिए गए मानों $R=8$ और $d=6$ को पाइथागोरस प्रमेय में रखें।. पूर्ण जीवा लंबाई निर्धारित करें: जीवा AB की कुल लंबाई प्राप्त करने के लिए अर्ध-जीवा लंबाई को 2 से गुणा करें।

Answer: B सही है क्योंकि जीवा की लंबाई की गणना $2 \times \sqrt{8^2 - 6^2} = 4\sqrt{7}$ cm के रूप में की जाती है।

Exam Tip: वृत्तों के भीतर समकोण त्रिभुज की यह अवधारणा त्रिकोणमिति और निर्देशांक ज्यामिति की समस्याओं में अक्सर पूछी जाती है, जिसमें स्पर्श रेखाएं और छेदक रेखाएं शामिल होती हैं।

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Option B: $ 4\sqrt{7} \text{ cm} $

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Option C: $ 8\sqrt{7} \text{ cm} $

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Option D: $ 2\sqrt{7} \text{ cm} $

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