PQ दो वृत्तों, जिनके केंद्र क्रमशः $ O_1 $ और $ O_2 $ हैं, की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, जो एक दूसरे को

Question

PQ दो वृत्तों, जिनके केंद्र क्रमशः $ O_1 $ और $ O_2 $ हैं, की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, जो एक दूसरे को बिंदु A पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 11 सेमी और 4 सेमी हैं। PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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The correct answer is C: $ 4\sqrt{11} $ सेमी. बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (direct common tangent) की लंबाई त्रिज्याओं के गुणोत्तर माध्य की दोगुनी होती है, जो सरल रूप से (11 गुणा 4) का वर्गमूल लेकर उसे 2 से गुणा करने पर प्राप्त होती है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (direct common tangent) की लंबाई त्रिज्याओं के गुणोत्तर माध्य की दोगुनी होती है, जो सरल रूप से (11 गुणा 4) का वर्गमूल लेकर उसे 2 से गुणा करने पर प्राप्त होती है।

Formula Used: $$L = 2\sqrt{r_1 \times r_2}$$

Given: बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r1 = 11 cm और r2 = 4 cm हैं।

Steps: दिए गए मापदंडों की पहचान करें: दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 11$ cm और $r_2 = 4$ cm हैं। चूँकि वे बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, केंद्रों के बीच की दूरी $d = r_1 + r_2 = 15$ cm होगी।. उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा के सूत्र का प्रयोग करें: बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई $L$, सूत्र $L = 2\sqrt{r_1 \times r_2}$ द्वारा दी जाती है।. परिणाम की गणना करें: त्रिज्याओं के मान को सूत्र में रखें: $L = 2\sqrt{11 \times 4} = 2\sqrt{44}$। वर्गमूल को सरल करने पर, $\sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = 2\sqrt{11}$। अतः, $L = 2 \times 2\sqrt{11} = 4\sqrt{11}$ cm।

Answer: C सही है क्योंकि $2\sqrt{r_1r_2}$ का उपयोग करके गणना की गई उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई $4\sqrt{11}$ cm है।

Exam Tip: यह अवधारणा प्रतियोगी ज्यामिति में प्रतिच्छेदी वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी या आंतरिक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के साथ अक्सर पूछी जाती है।

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Option A: $ 2\sqrt{11} $ सेमी

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Option B: $ 3\sqrt{11} $ सेमी

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Option D: $ 5\sqrt{11} $ सेमी

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