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Chapter 1 of 12 • Page 1 of 248🔒 Protected PDF • Watermarked
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एक वृत्त में, व्यास PQ को Q से एक बाहरी बिंदु X तक बढ़ाया जाता है। वृत्त पर बिंदु Y पर स्पर्श रेखा XY खींची जाती है। यदि XY = 15 सेमी और QX = 9 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
7 सेमी
10 सेमी
8 सेमी
9 सेमी
8 सेमी
टैंजेंट-सीकेंट (स्पर्शरेखा-छेदक) प्रमेय का उपयोग करें: स्पर्शरेखा का वर्ग बाह्य खंड और पूर्ण छेदक लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। यहाँ, 152=9×(9+2r), जिससे 225=81+18r, और आगे हल करने पर 144=18r प्राप्त होता है।
व्यास PQ को बिंदु X तक बढ़ाया गया है। QX = 9 सेमी। स्पर्शरेखा XY = 15 सेमी। हमें त्रिज्या r ज्ञात करनी है।
XY2=QX×PX
टैंजेंट-सीकेंट (स्पर्शरेखा-छेदक) प्रमेय का उपयोग करें: स्पर्शरेखा का वर्ग बाह्य खंड और पूर्ण छेदक लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। यहाँ, 152=9×(9+2r), जिससे 225=81+18r, और आगे हल करने पर 144=18r प्राप्त होता है।
कई छात्र छेदक खंड PX को केवल XQ मान लेते हैं, यह भूलकर कि छेदक लंबाई में व्यास PQ (2r) को शामिल करना आवश्यक है।
स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय की पहचान करें
एक स्पर्शरेखा खंड XY और वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाले छेदक खंड XP के लिए, प्रमेय यह बताता है कि स्पर्शरेखा खंड का वर्ग बाहरी भाग और संपूर्ण छेदक के गुणनफल के बराबर होता है।
XY2=QX×PX
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें
हम जानते हैं कि XY=15 और QX=9 है। पूर्ण छेदक लंबाई PX=QX+PQ=9+2r है, जहाँ r त्रिज्या है।
152=9×(9+2r)
त्रिज्या r के लिए हल करें
समीकरण का विस्तार करने पर: 225=81+18r। दोनों पक्षों से 81 घटाने पर 144=18r प्राप्त होता है। 18 से भाग देने पर r=8 प्राप्त होता है।
r=18144=8 सेमी
C सही है क्योंकि स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय 152=9(9+2r) का उपयोग करके त्रिज्या की गणना करने पर r = 8 सेमी प्राप्त होता है।
यह प्रमेय 'पावर ऑफ ए पॉइंट' प्रमेय का एक विशिष्ट मामला है। याद रखें कि वृत्त के बाहर किसी भी बिंदु के लिए, पावर सभी छेदकों/स्पर्शरेखाओं के लिए स्थिर होती है, जो निर्देशांक ज्यामिति में एक उपयोगी अवधारणा है।
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