संख्या निरूपण को परिभाषित करें

किसी भी संख्या $N$ को दशमलव पद्धति में $d_k 10^k + d_{k-1} 10^{k-1} +... + d_1 10^1 + d_0 10^0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$N = \sum_{i=0}^{n} d_i 10^i$

मॉड्यूलो 9 गुण लागू करें

चूंकि $10 \equiv 1 \pmod{9}$, यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी घात $i$ के लिए $10^i \equiv 1^i \equiv 1 \pmod{9}$ होगा।

$N \equiv \sum_{i=0}^{n} d_i (1) \equiv \sum_{i=0}^{n} d_i \pmod{9}$

शेषफल के आधार पर निष्कर्ष

यदि अंकों का योग $\sum d_i$ 9 से विभाज्य है, तो 9 से भाग देने पर $N$ का शेषफल 0 होता है, जो विभाज्यता की पुष्टि करता है।

$N \equiv 0 \pmod{9} \iff \sum d_i \equiv 0 \pmod{9}$