एक कण पर एक परिवर्ती बल F(x)=6x N लगाया जाता है, जहाँ x मीटर म... | General Science MCQ (हिंदी) | Examoogle

General SciencePhysics: Work, Energy and Power

एक कण पर एक परिवर्ती बल F(x)=6x N लगाया जाता है, जहाँ x मीटर में है। कण को x=0 m से x=3 m तक ले जाने में किया गया कार्य क्या है?

54 J

9 J

18 J

27 J

Correct Answer

🔬 SC • Science अवधारणा और सिद्धांतGeneral SciencePhysics: Work, Energy and Power

27 J

Quick Summary:

परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन अंतराल पर बल फलन के समाकलन (integral) के बराबर होता है। बल $F(x) = 6x$ के लिए, $x=0$ से $x=3$ तक किया गया कार्य निश्चित समाकलन $\int_{0}^{3} 6x \, dx$ का मूल्यांकन करके निकाला जाता है, जिसका परिणाम $27 \, J$ होता है।

🔬SCScience Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

💡 Everyday Analogy (Real-World Intuition)

स्प्रिंग को खींचना इसी के समान है; आप इसे जितना अधिक खींचते हैं, आपको उतने ही अधिक बल की आवश्यकता होती है, और आप जो कुल ऊर्जा लगाते हैं वह उस बढ़ते प्रतिरोध का संचयी प्रभाव है।

🧠 Memory Mnemonic / Shortcut Aid

WIF (कार्य बल का समाकलन है - Work is Integral of Force)

🔢 Key Formulas

$W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) \, dx$ — परिवर्ती बल द्वारा किए गए कार्य की परिभाषा

$F(x) = 6x$ — दिया गया परिवर्ती बल फलन

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ — समाकलन का घात नियम (Power rule)

⚙️ Working Principle

x-अक्ष के अनुदिश एक परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य ( $W$ ) बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है। गणितीय रूप से, इसे समाकलन $W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) \, dx$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $6x$ का समाकलन करने पर $3x^2$ प्राप्त होता है, और सीमाएं $[0, 3]$ लागू करने पर $3(3)^2 - 3(0)^2 = 27 \, J$ प्राप्त होता है।

📌 Key Points

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कार्य को स्थिर बलों के लिए बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन परिवर्ती बलों के लिए समाकलन की आवश्यकता होती है।
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बल-विस्थापन (F-x) ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल किए गए कार्य को दर्शाता है।
▸
कार्य की SI इकाई जूल ( $J$ ) है, जहाँ $1 \, J = 1 \, N \cdot m$ होता है।

✅ Advantages

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कलन (Calculus) उन भौतिकी समस्याओं को हल करने के लिए एक सटीक विधि प्रदान करता है जहाँ बल स्थिर नहीं होता है।

🛠️ Applications / Uses

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स्प्रिंग को संपीडित करने या खींचने में किए गए कार्य की गणना (हुक का नियम)।
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गैर-समान गुरुत्वाकर्षण या विद्युत क्षेत्रों में ऊर्जा परिवर्तनों का विश्लेषण।

📄 Additional Information

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बल $F(x) = 6x$ एक रैखिक संबंध को दर्शाता है जहाँ बल विस्थापन के साथ आनुपातिक रूप से बढ़ता है।
▸
विकल्प A (54 J) तब परिणाम है यदि कोई गलती से $6x^2$ का समाकलन कर दे। विकल्प B (9 J) समाकलन में गुणांक को ध्यान में न रखने के कारण आता है। विकल्प C (18 J) एक सामान्य गणना त्रुटि है।

📊 Diagram / Illustration

✅

D सही है — परिवर्ती बल $F(x) = 6x$ द्वारा किया गया कार्य $0$ से $3$ तक का निश्चित समाकलन है, जिससे $27 \, J$ प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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कार्य-ऊर्जा प्रमेय भौतिकी में समाकलन कलन परिवर्ती बल

💡 EXAM TIP

$W = Fd$ लागू करने से पहले हमेशा जांचें कि बल स्थिर है या परिवर्ती। यदि बल में $x$ , $t$ , या $v$ शामिल हैं, तो समाकलन का उपयोग करें।

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