एक छोटी ट्रांसमिशन लाइन, जिसका लाइन-प्रतिबाधा कोण (line-impedance angle) $\Theta$ है, प्राप्त-सिरे (receiving-

Question

एक छोटी ट्रांसमिशन लाइन, जिसका लाइन-प्रतिबाधा कोण (line-impedance angle) $\Theta$ है, प्राप्त-सिरे (receiving-end) पर $\Phi$ के लैगिंग पावर-फैक्टर कोण पर एक निश्चित शक्ति प्रदान कर रही है। निम्नलिखित में से कौन सा उन स्थितियों का समूह है जिसके लिए इस लाइन का वोल्टेज रेगुलेशन अधिकतम और शून्य होगा?

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C: $\Phi = \Theta$ और $\Phi + \Theta = \frac{\pi}{2}$

Explanation & Concepts:
एक छोटी ट्रांसमिशन लाइन का वोल्टेज रेगुलेशन नो-लोड से फुल-लोड तक प्राप्त-सिरे के वोल्टेज में होने वाले परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिकतम रेगुलेशन तब होता है जब लोड पावर फैक्टर कोण, लाइन प्रतिबाधा कोण के बराबर होता है ($\Phi = \Theta$), और शून्य रेगुलेशन तब होता है जब लोड पावर फैक्टर कोण वोल्टेज ड्रॉप को चरण बदलाव (phase shift) के लिए सटीक रूप से संतुलित कर देता है (लीडिंग पावर फैक्टर के लिए $\Phi + \Theta = \frac{\pi}{2}$)।

Working Principle: एक छोटी ट्रांसमिशन लाइन में वोल्टेज ड्रॉप को $V_S - V_R \approx I(R \cos \Phi + X \sin \Phi)$ द्वारा अनुमानित किया जाता है। अधिकतम रेगुलेशन के लिए, हम इस व्यंजक का $\Phi$ के सापेक्ष अवकलन (differentiate) करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं, जिससे $	an \Phi = X/R = 	an \Theta$ प्राप्त होता है, अतः $\Phi = \Theta$। शून्य रेगुलेशन के लिए, $V_R$ वेक्टर के साथ वोल्टेज ड्रॉप का घटक शून्य होना चाहिए, जो $\Phi + \Theta = \pi/2$ की स्थिति की ओर ले जाता है।

Key Formulas: $V_{reg} = \frac{V_{NL} - V_{FL}}{V_{FL}} 	imes 100$; $V_S \approx V_R + I(R \cos \Phi + X \sin \Phi)$

Key Points: वोल्टेज रेगुलेशन लोड में परिवर्तन के प्रति आउटपुट वोल्टेज की संवेदनशीलता को दर्शाता है।; अधिकतम वोल्टेज रेगुलेशन लैगिंग पावर फैक्टर स्थितियों के तहत होता है जहाँ $\Phi = \Theta$ होता है।; शून्य रेगुलेशन आमतौर पर लीडिंग पावर फैक्टर लोड के साथ होता है।; एक छोटी लाइन के लिए, $R$ और $X$ रेगुलेशन को प्रभावित करने वाले प्राथमिक पैरामीटर हैं।

Advantages: छोटी लाइनों के लिए सरल गणितीय मॉडल।; विभिन्न लोड स्थितियों के तहत वोल्टेज स्थिरता का पूर्वानुमान लगाता है।

Disadvantages: शंट कैपेसिटेंस प्रभावों का हिसाब नहीं रखता है।; लंबी ट्रांसमिशन लाइनों के लिए सटीकता काफी कम हो जाती है।

Applications: वितरण नेटवर्क योजना।; अल्प-दूरी औद्योगिक पावर फीडर।

Additional Info: प्रतिबाधा कोण $\Theta = 	an^{-1}(\frac{X}{R})$ है।. विकल्प A और B गलत युग्मों या अमान्य त्रिकोणमितीय पहचानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

Answer: C सही है — अधिकतम रेगुलेशन $\Phi = \Theta$ पर होता है और शून्य रेगुलेशन $\Phi + \Theta = \frac{\pi}{2}$ पर होता है।

Exam Tip: याद रखें: छोटी लाइनों के लिए, लैगिंग लोड के लिए रेगुलेशन सकारात्मक, विशिष्ट लीडिंग लोड के लिए शून्य, और बहुत उच्च लीडिंग पावर फैक्टर लोड के लिए नकारात्मक (वोल्टेज वृद्धि) होता है।

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Option A: $\Phi = \Theta$ और $\Phi - \Theta = \frac{\pi}{2}$

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Option B: $\Phi - \Theta = \frac{\pi}{2}$ और $\Phi = \Theta$

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Option D: $\Phi + \Theta = \frac{\pi}{2}$ और $\Phi = \Theta$

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