l स्पैन की एक सरल समर्थित बीम (simply supported beam), जिसके केंद्र पर W बिंदु भार (point load) कार्य कर रहा ह

Question

l स्पैन की एक सरल समर्थित बीम (simply supported beam), जिसके केंद्र पर W बिंदु भार (point load) कार्य कर रहा है, के दोनों सिरों पर ढलान (slope) होगी

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The correct answer is C: $\frac{Wl^2}{16EI}$. $l$ स्पैन की एक सरल समर्थित बीम, जिस पर केंद्र पर बिंदु भार $W$ कार्य कर रहा हो, के लिए दोनों समर्थनों पर ढलान $	heta$, $\frac{Wl^2}{16EI}$ के बराबर होती है। यह संरचनात्मक सदस्यों के लिए स्थैतिक लोडिंग के तहत मानक इलास्टिक कर्व समीकरण से प्राप्त होता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
$l$ स्पैन की एक सरल समर्थित बीम, जिस पर केंद्र पर बिंदु भार $W$ कार्य कर रहा हो, के लिए दोनों समर्थनों पर ढलान $	heta$, $\frac{Wl^2}{16EI}$ के बराबर होती है। यह संरचनात्मक सदस्यों के लिए स्थैतिक लोडिंग के तहत मानक इलास्टिक कर्व समीकरण से प्राप्त होता है।

Working Principle: जब एक सरल समर्थित बीम के केंद्र पर बिंदु भार कार्य करता है, तो बीम में झुकना (bending) होता है, जिसके परिणामस्वरूप केंद्र पर अधिकतम विक्षेपण (deflection) और समर्थनों पर अधिकतम ढलान प्राप्त होती है। डबल इंटीग्रेशन विधि या मैकाले (Macaulay's) विधि का उपयोग करते हुए, ढलान का समीकरण $	heta = \frac{M \cdot L}{k \cdot EI}$ है, जहाँ केंद्रीय भार के लिए बेंडिंग मोमेंट का विशिष्ट वितरण समर्थनों पर 16 का गुणांक देता है।

Key Formulas: $	heta = \frac{Wl^2}{16EI}$ — समर्थनों पर ढलान; $\delta_{max} = \frac{Wl^3}{48EI}$ — केंद्र पर अधिकतम विक्षेपण

Key Points: ढलान सिरों (समर्थनों) पर अधिकतम होती है और केंद्र पर शून्य होती है।; विक्षेपण केंद्र पर अधिकतम होता है और समर्थनों पर शून्य होता है।; यह सूत्र मानता है कि बीम आनुपातिकता सीमा के भीतर लोचदार व्यवहार करती है।; $E$ यंग मापांक (Young's Modulus) है और $I$ क्षेत्रफल जड़त्व आघूर्ण (Area Moment of Inertia) है।

Advantages: अनुमानित संरचनात्मक व्यवहार; मानक भार स्थितियों के लिए गणना में आसान

Disadvantages: सामग्री की एकरूपता मानकर चलती है; केवल प्रिज्मीय बीम (constant EI) के लिए लागू

Applications: भवन तल बीम का संरचनात्मक डिजाइन; विशिष्ट बिंदु भार के तहत पुल गर्डर

Additional Info: अभिव्यक्ति $\frac{Wl^3}{48EI}$ (विकल्प B) केंद्र पर अधिकतम विक्षेपण दर्शाती है, ढलान नहीं।. अभिव्यक्ति $\frac{5wl^4}{384EI}$ (विकल्प D) एकसमान वितरित भार (UDL) के साथ सरल समर्थित बीम में अधिकतम विक्षेपण का सूत्र है।

Answer: C सही है — एक केंद्रीय बिंदु भार के तहत सरल समर्थित बीम के सिरों पर ढलान $\frac{Wl^2}{16EI}$ होती है।

Exam Tip: हमेशा ढलान (रेडियन की इकाइयां) और विक्षेपण (लंबाई की इकाइयां) के बीच अंतर करें; ढलान के सूत्रों में हमेशा अंश में $l^2$ होगा, जबकि विक्षेपण के सूत्रों में $l^3$ या $l^4$ होता है।

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Option A: $\frac{Wl^3}{24EI}$

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Option B: $\frac{Wl^3}{48EI}$

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Option D: $\frac{5wl^4}{384EI}$

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