l स्पैन की एक सिंपली सपोर्टेड बीम, जिस पर पूरी लंबाई पर w का UDL लगा है, उसके दोनों सिरों पर ढलान (slope) होगी

Question

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The correct answer is C: $\frac{wl^3}{24EI}$. l स्पैन की एक सिंपली सपोर्टेड बीम के लिए, जिस पर पूरी लंबाई पर प्रति इकाई लंबाई w का एक समान वितरित भार (UDL) लगा हो, अधिकतम ढलान सिरों पर होती है। दोनों सिरों पर ढलान (	heta) को व्यंजक 	heta = \frac{wl^3}{24EI} द्वारा दिया जाता है, जहाँ E यंग का मापांक (Young's Modulus) है और I जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
l स्पैन की एक सिंपली सपोर्टेड बीम के लिए, जिस पर पूरी लंबाई पर प्रति इकाई लंबाई w का एक समान वितरित भार (UDL) लगा हो, अधिकतम ढलान सिरों पर होती है। दोनों सिरों पर ढलान (	heta) को व्यंजक 	heta = \frac{wl^3}{24EI} द्वारा दिया जाता है, जहाँ E यंग का मापांक (Young's Modulus) है और I जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) है।

Working Principle: डबल इंटीग्रेशन मेथड या मैकाले विधि के अनुसार, बीम के विक्षेपण (deflection) के लिए गवर्निंग डिफरेंशियल इक्वेशन EI\frac{d^2y}{dx^2} = M_x है। इस समीकरण को दो बार समाकलित (integrate) करके और सीमा स्थितियों (x=0 और x=l पर विक्षेपण y=0) को लागू करके, हम ढलान \frac{dy}{dx} के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं। सिरों पर (x=0 और x=l), यह ढलान अपने अधिकतम परिमाण तक पहुँच जाती है, जिसके परिणामस्वरूप मानक सूत्र प्राप्त होता है।

Key Formulas: $	heta = \frac{wl^3}{24EI}$ — UDL के साथ सिंपली सपोर्टेड बीम के सिरों पर ढलान; $\delta_{max} = \frac{5wl^4}{384EI}$ — UDL के साथ सिंपली सपोर्टेड बीम के केंद्र पर अधिकतम विक्षेपण

Key Points: सममित UDL के लिए ढलान सिरों पर अधिकतम होती है और मिड-स्पैन पर शून्य होती है।; ढलान की इकाइयां रेडियन (विमाहीन) में होती हैं।; फ्लेक्सुरल कठोरता (EI) ढलान और विक्षेपण दोनों को विपरीत रूप से प्रभावित करती है।

Advantages: पूर्वानुमेय विरूपण व्यवहार; संरचनात्मक विश्लेषण के लिए मानकीकृत गुणांक

Applications: फ्लोर बीम का डिज़ाइन; सिंपली सपोर्टेड गर्डर्स का संरचनात्मक विश्लेषण

Additional Info: विकल्प A ($\frac{Wl^2}{16EI}$) गलत है; यह अलग सीमा स्थितियों से संबंधित है।. विकल्प B ($\frac{5wl^4}{384EI}$) अधिकतम केंद्रीय विक्षेपण को दर्शाता है, ढलान को नहीं।. विकल्प D ($\frac{Wl^3}{48EI}$) केंद्रीय बिंदु भार W के तहत सिंपली सपोर्टेड बीम के लिए अधिकतम विक्षेपण है।

Answer: C सही है — UDL के तहत सिंपली सपोर्टेड बीम के सिरों पर ढलान \frac{wl^3}{24EI} सूत्र द्वारा निर्धारित होती है।

Exam Tip: याद रखें कि वितरित भार के लिए 'ढलान' पदों में आमतौर पर $l^3$ होता है जबकि 'विक्षेपण' पदों में $l^4$ होता है; परीक्षा के दौरान अपने सूत्रों को सत्यापित करने के लिए इस आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।

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Option A: $\frac{Wl^2}{16EI}$

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Option B: $\frac{5wl^4}{384EI}$

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Option D: $\frac{Wl^3}{48EI}$

Correct Answer

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