$l$ स्पैन की एक साधारणतः समर्थित (simply supported) बीम, जो स्पैन के केंद्र पर बिंदु भार $W$ वहन कर रही है, के

Question

$l$ स्पैन की एक साधारणतः समर्थित (simply supported) बीम, जो स्पैन के केंद्र पर बिंदु भार $W$ वहन कर रही है, केंद्र पर विक्षेप (deflection) क्या होगा

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The correct answer is B: $\frac{Wl^3}{48EI}$. $l$ स्पैन की एक साधारणतः समर्थित बीम पर केंद्रीय बिंदु भार $W$ लगने पर, अधिकतम विक्षेप केंद्र पर होता है। इस विक्षेप को डबल इंटीग्रेशन विधि या मैकाले (Macaulay) की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जिसका परिणाम मानक सूत्र $\delta = \frac{Wl^3}{48EI}$ है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
$l$ स्पैन की एक साधारणतः समर्थित बीम पर केंद्रीय बिंदु भार $W$ लगने पर, अधिकतम विक्षेप केंद्र पर होता है। इस विक्षेप को डबल इंटीग्रेशन विधि या मैकाले (Macaulay) की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जिसका परिणाम मानक सूत्र $\delta = \frac{Wl^3}{48EI}$ है।

Working Principle: बिंदु भार द्वारा प्रेरित आघूर्ण (moment) के कारण बीम झुकती है। वक्रता $\kappa$ का संबंध बेंडिंग मोमेंट $M$ के साथ इलास्टिक कर्व समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{M}{EI}$ द्वारा दर्शाया जाता है। समर्थनों पर उचित सीमा स्थितियों (जहाँ $x=0$ और $x=l$ पर विक्षेप $y=0$ है) के साथ इस समीकरण को दो बार समाकलित (integrate) करने पर किसी भी बिंदु $x$ पर विक्षेप प्राप्त होता है, जो $x = l/2$ पर अधिकतम होता है।

Key Formulas: $\delta_{max} = \frac{Wl^3}{48EI}$ — केंद्र पर अधिकतम विक्षेप; $	heta = \frac{Wl^2}{16EI}$ — समर्थनों पर ढलान (slope)

Key Points: अधिकतम विक्षेप बिंदु भार के स्थान पर होता है।; $E$ यंग मापांक है और $I$ जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) है।; विक्षेप फ्लेक्सुरल कठोरता (flexural rigidity) $EI$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

Advantages: संरचनात्मक कठोरता के लिए मानकीकृत डिजाइन पैरामीटर।; यूलर-बर्नोली बीम सिद्धांत का उपयोग करके सरल व्युत्पत्ति।

Disadvantages: केवल रैखिक लोचदार (linear elastic) व्यवहार के लिए लागू।; छोटे विक्षेपों (छोटा कोण सन्निकटन) को मानता है।

Applications: फ्लोर बीम का सिविल संरचनात्मक डिजाइन।; ड्राइव शाफ्ट और भार-वहन करने वाले सदस्यों का यांत्रिक डिजाइन।

Additional Info: विकल्प A: $\frac{5wl^4}{384EI}$ एक समान रूप से वितरित भार (UDL) के तहत साधारणतः समर्थित बीम के विक्षेप का प्रतिनिधित्व करता है।. विकल्प C: $\frac{wl^3}{24EI}$ एक आयामी प्रकार है, जो इस स्थिति के लिए मानक नहीं है।. विकल्प D: $\frac{Wl^2}{16EI}$ केंद्रीय बिंदु भार के लिए समर्थन पर ढलान से संबंधित है, न कि विक्षेप से।

Answer: B सही है — केंद्रीय बिंदु भार $W$ वाली साधारणतः समर्थित बीम के केंद्र पर विक्षेप $\frac{Wl^3}{48EI}$ द्वारा दिया जाता है।

Exam Tip: याद रखें कि UDL अंश में लंबाई की उच्च घात ($l^4$) उत्पन्न करता है, जबकि बिंदु भार $l^3$ उत्पन्न करते हैं।

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Option A: $\frac{5wl^4}{384EI}$

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Option C: $\frac{wl^3}{24EI}$

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Option D: $\frac{Wl^2}{16EI}$

Correct Answer

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