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CivilStructural Mechanics-II

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span l की एक सिंपली सपोर्टेड बीम, जिस पर पूरी span पर w का udl कार्य कर रहा है, केंद्र पर विक्षेपण (deflection) होगा

$\frac{Wl^2}{16EI}$

$\frac{Wl^3}{48EI}$

$\frac{wl^3}{24EI}$

$\frac{5wl^4}{384EI}$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतCivilStructural Mechanics-II

$\frac{5wl^4}{384EI}$

Quick Summary:

span $l$ की एक सिंपली सपोर्टेड बीम, जिस पर पूरी span पर प्रति इकाई लंबाई $w$ तीव्रता का समान रूप से वितरित भार (udl) कार्य कर रहा है, के लिए अधिकतम विक्षेपण span के केंद्र पर होता है।

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⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$\delta_{max} = \frac{5wl^4}{384EI}$ — UDL के तहत सिंपली सपोर्टेड बीम के लिए अधिकतम विक्षेपण

$\theta_{end} = \frac{wl^3}{24EI}$ — सपोर्ट पर अधिकतम ढलान (slope)

⚙️ Working Principle

विक्षेपण इलास्टिक कर्व के अवकल समीकरण $EI \frac{d^2y}{dx^2} = M_x$ से प्राप्त किया जाता है। $x=0$ और $x=l$ पर सीमा स्थितियों (boundary conditions) $y=0$ का उपयोग करते हुए दो बार समाकलन (integration) करने पर किसी भी बिंदु $x$ पर विक्षेपण का व्यंजक प्राप्त होता है। $x = \frac{l}{2}$ पर, इसका मान $\frac{5wl^4}{384EI}$ होता है।

📌 Key Points

▸
विक्षेपण फ्लेक्सुरल कठोरता ( $EI$ ) पर व्युत्क्रमानुपाती (inversely) निर्भर करता है।
▸
केंद्र पर बिंदु भार $W$ के लिए, विक्षेपण $\frac{Wl^3}{48EI}$ होता है।
▸
विक्षेपण वहां अधिकतम होता है जहां इलास्टिक कर्व की ढलान शून्य होती है।

✅ Advantages

▸
समान भार वितरण तनाव संकेंद्रण (stress concentrations) को रोकता है।
▸
मानक समाकलन तकनीकों का उपयोग करके विश्लेषण करना आसान है।

❌ Disadvantages / Limitations

▸
प्रॉप कैंटिलीवर (propped cantilever) की तुलना में अधिक मध्य-span विक्षेपण।
▸
गतिशील भार के तहत संरचनात्मक कंपन के प्रति संवेदनशील।

🛠️ Applications / Uses

▸
इमारतों में फ्लोर जॉइस्ट का डिज़ाइन।
▸
समान डेड लोड के अधीन ब्रिज गर्डर्स।

📄 Additional Information

▸
ध्यान दें कि $w$ प्रति इकाई लंबाई भार (जैसे, kN/m) को दर्शाता है, जबकि $W$ आमतौर पर कुल भार (kN) को दर्शाता है।
▸
विकल्प B मध्य-span पर बिंदु भार के कारण होने वाले विक्षेपण को दर्शाता है।
▸
विकल्प C UDL के तहत सपोर्ट पर ढलान को दर्शाता है।

📊 Diagram / Illustration

✅

D सही है — समान रूप से वितरित भार के तहत सिंपली सपोर्टेड बीम का केंद्रीय विक्षेपण $\frac{5wl^4}{384EI}$ होता है।

Core Concepts Used

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इलास्टिक कर्व समीकरण फ्लेक्सुरल कठोरता (Flexural Rigidity) सीमा स्थितियाँ (Boundary Conditions)

💡 EXAM TIP

हमेशा जांचें कि दिया गया भार कुल भार ( $W$ ) है या प्रति इकाई लंबाई तीव्रता ( $w$ ); इसमें अंतर न कर पाना स्ट्रक्चरल मैकेनिक्स की परीक्षाओं में एक सामान्य गलती है।

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