एक वस्तु को 40 cm फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस के बाईं ओर 100 cm की दूरी पर रखा गया है। लेंस के दाईं ओर पर्दे को

Question

एक वस्तु को 40 cm फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस के बाईं ओर 100 cm की दूरी पर रखा गया है। लेंस के दाईं ओर पर्दे को कहाँ रखा जाना चाहिए ताकि बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा और वस्तु के आकार की तुलना में छोटा हो?

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The correct answer is C: पर्दे को लेंस से 40 cm और 80 cm के बीच कहीं भी रखा जाना चाहिए।. एक उत्तल लेंस के लिए, जब कोई वस्तु $2f$ से परे (जहाँ $f=40$ cm, इसलिए $2f=80$ cm) रखी जाती है, तो प्रतिबिंब हमेशा लेंस के दूसरी ओर $f$ और $2f$ के बीच बनता है। चूँकि वस्तु $100$ cm ($u > 80$ cm) पर है, इसलिए वास्तविक, उल्टा और छोटा प्रतिबिंब लेंस से $40$ cm और $80$ cm के बीच दिखाई देना चाहिए।

Step-by-Step Solution & Concepts:
एक उत्तल लेंस के लिए, जब कोई वस्तु $2f$ से परे (जहाँ $f=40$ cm, इसलिए $2f=80$ cm) रखी जाती है, तो प्रतिबिंब हमेशा लेंस के दूसरी ओर $f$ और $2f$ के बीच बनता है। चूँकि वस्तु $100$ cm ($u > 80$ cm) पर है, इसलिए वास्तविक, उल्टा और छोटा प्रतिबिंब लेंस से $40$ cm और $80$ cm के बीच दिखाई देना चाहिए।

Working Principle: लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = -100$ cm और $f = +40$ cm है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{1}{v} - (\frac{1}{-100}) = \frac{1}{40}$ प्राप्त होता है, जो सरल करने पर $\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{100} = \frac{5-2}{200} = \frac{3}{200}$ हो जाता है। अतः, $v = \frac{200}{3} \approx 66.67$ cm। यह मान $40$ cm से $80$ cm की सीमा के भीतर आता है।

Key Formulas: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ — वस्तु दूरी, प्रतिबिंब दूरी और फोकस दूरी को जोड़ने वाला लेंस सूत्र; $m = \frac{v}{u}$ — लेंस के लिए आवर्धन सूत्र

Key Points: उत्तल लेंस वास्तविक प्रतिबिंब तभी बनाता है जब वस्तु को फोकस बिंदु $f$ के बाहर रखा जाता है।; यदि $u = 2f$ है, तो प्रतिबिंब $v = 2f$ पर बनता है और आवर्धन $m = -1$ होता है।; यदि $u > 2f$ है, तो प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा और छोटा होता है, जो $f$ और $2f$ के बीच बनता है।

Advantages: देखने के लिए पर्दे पर एक स्पष्ट, प्रक्षेपित प्रतिबिंब प्रदान करता है।

Disadvantages: यदि वस्तु को फोकस दूरी ($u

Applications: फिल्म प्रोजेक्टर; दूर के दृश्यों को कैप्चर करने वाले कैमरा लेंस

Additional Info: जहाँ $u = 100$ cm, आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{66.67}{-100} \approx -0.67$ है। ऋणात्मक चिह्न उल्टा प्रतिबिंब दर्शाता है, और परिमाण $. विकल्प A गलत है क्योंकि प्रतिबिंब केवल तभी $f$ पर होता है जब वस्तु अनंत पर हो।. विकल्प D गलत है क्योंकि यदि वस्तु $2f$ से परे है तो उत्तल लेंस के लिए वास्तविक प्रतिबिंब $2f$ से आगे नहीं बन सकता है।

Answer: C सही है — चूँकि वस्तु की दूरी $100$ cm, $2f$ ($80$ cm) से अधिक है, इसलिए प्रतिबिंब की दूरी $v$ को $f$ ($40$ cm) और $2f$ ($80$ cm) के बीच होना चाहिए।

Exam Tip: उत्तल लेंस में छोटे वास्तविक प्रतिबिंब के बारे में पूछे जाने पर हमेशा जाँचें कि क्या वस्तु की दूरी $u$, $2f$ से अधिक है; यह परीक्षाओं के दौरान गणना का समय बचाता है!

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Option A: पर्दे को लेंस से 40 cm की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

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Option B: पर्दे को लेंस से 20 cm और 40 cm के बीच कहीं भी रखा जाना चाहिए।

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Option D: पर्दे को लेंस से 100 cm से आगे रखा जाना चाहिए।

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