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निम्नलिखित डेटा का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें: वर्ग अंतराल 10-20, 20-30, 30-40, 40-50; बारंबारता 5, 10, 15, 10।

31.25

32.50

30.00

33.75

Correct Answer

📐 MA • Math प्रत्यक्ष सूत्रMathematicsStatistics

32.50

Quick Summary:

बड़ी संख्याओं को सरल बनाने और परीक्षा हॉल में जल्दी से माध्य की गणना करने के लिए कल्पित माध्य विधि या विचलन विधि ( $d_i = x_i - A$ ) का उपयोग करें।

📐MAMath Solutionप्रत्यक्ष सूत्र

📋 Given

वर्ग अंतराल क्रमशः 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 हैं और उनकी बारंबारताएँ क्रमशः 5, 10, 15, 10 हैं।

🔢 Formula Used

x‾=∑(fi⋅xi)∑fi\overline{x} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i}x=∑fi​∑(fi​⋅xi​)​

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

सही मध्यबिंदु ( $x_i = \frac{\text{निचली सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$ ) की गणना करने के बजाय वर्ग अंतराल की निचली या ऊपरी सीमा को सीधे $x_i$ के रूप में उपयोग करना।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

प्रत्येक वर्ग के लिए मध्यबिंदु ( $x_i$ ) ज्ञात करें

सूत्र $x_i = \frac{\text{निचली सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$ का उपयोग करके प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्यबिंदु की गणना करें। 10⁻²⁰ के लिए यह 15 है, 20-30 के लिए यह 25 है, 30-40 के लिए यह 35 है, और 40-50 के लिए यह 45 है।

xi={15,25,35,45}x_i = \{15, 25, 35, 45\}xi​={15,25,35,45}

बारंबारता और मध्यबिंदु के गुणनफल ( $f_i \cdot x_i$ ) की गणना करें

प्रत्येक बारंबारता $f_i$ को उसके संगत मध्यबिंदु $x_i$ से गुणा करें: $5 \times 15 = 75$ , $10 \times 25 = 250$ , $15 \times 35 = 525$ , और $10 \times 45 = 450$ ।

∑fi⋅xi=75+250+525+450=1300\sum f_i \cdot x_i = 75 + 250 + 525 + 450 = 1300∑fi​⋅xi​=75+250+525+450=1300

कुल बारंबारता ( $\sum f$ _i) ज्ञात करें

कुल प्रेक्षणों की संख्या ज्ञात करने के लिए सभी दी गई बारंबारताओं को जोड़ें।

∑fi=5+10+15+10=40\sum f_i = 5 + 10 + 15 + 10 = 40∑fi​=5+10+15+10=40

अंकगणितीय माध्य की गणना करें

$\sum f_i x_i$ के योग को कुल बारंबारता $\sum f_i$ से विभाजित करके समूहीकृत डेटा के लिए अंकगणितीय माध्य सूत्र लागू करें।

x‾=130040=32.50\overline{x} = \frac{1300}{40} = 32.50x=401300​=32.50

✅

B सही है क्योंकि दिए गए डेटा का परिकलित अंकगणितीय माध्य 32.50 है।

Core Concepts Used

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वर्ग चिह्न या मध्यबिंदु समूहीकृत डेटा माध्य सूत्र बारंबारता बंटन सारणी

💡 EXAM TIP

तकनीकी परीक्षाओं के लिए सांख्यिकी प्रश्नों में माध्यिका, बहुलक, और मानक विचलन पर समस्याओं को हल करने के लिए समूहीकृत डेटा केंद्रीय प्रवृत्तियों को समझना आवश्यक है।

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