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यदि इनपुट A और B हैं, तो आउटपुट Y के लिए बूलियन व्यंजक ज्ञात कीजिए।
A
B
Y
Y=A⋅B+A+B
Y=A⋅B+A+B+A+B+A
Y=A⋅B+A+B+A+B+A+B
Y=(A⋅B)+(A+B)
Y=A⋅B+A+B
आउटपुट Y निर्धारित करने के लिए, हम गेट-दर-गेट बूलियन व्यंजक प्राप्त करते हैं। डी मॉर्गन प्रमेय और सरलीकरण नियमों जैसे बूलियन नियमों को लागू करने पर, अंतिम सर्किट आउटपुट Y=B में सरल हो जाता है।
आउटपुट Y निर्धारित करने के लिए, हम गेट-दर-गेट बूलियन व्यंजक प्राप्त करते हैं। डी मॉर्गन प्रमेय और सरलीकरण नियमों जैसे बूलियन नियमों को लागू करने पर, अंतिम सर्किट आउटपुट Y=B में सरल हो जाता है।
इस सर्किट को एक जटिल निस्पंदन (filtration) प्रणाली की तरह समझें, जहाँ कई पाइपों और वाल्वों के बावजूद, अंतिम परिणाम पूरी तरह से एक प्राथमिक फीड लाइन (इनपुट B) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिससे अंतिम आउटपुट के लिए दूसरा इनपुट (A) अनावश्यक हो जाता है।
Y=A⋅B — NAND गेट ऑपरेशन
Y=A+B — NOR गेट ऑपरेशन
Y=A+B — OR गेट ऑपरेशन
सर्किट में एक NAND गेट, दो NOR गेट और एक OR गेट शामिल है। मान लीजिए कि शीर्ष NAND गेट का आउटपुट AB है। मान लीजिए कि निचले NOR गेट में इनपुट B और A हैं, जिससे A+B प्राप्त होता है। अगला स्तर इन सिग्नलों को OR गेट तक पहुँचने से पहले आगे के NOR ऑपरेशनों के माध्यम से संसाधित करता है। बूलियन बीजगणित को चरण-दर-चरण सरल करने पर: Y=(AB+A+B)+(A+B+A)। आगे की कटौती से परिणाम Y=B प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन प्रमेय बताता है कि A+B=A⋅B और A⋅B=A+B।
बूलियन अवशोषण नियम और इनवोल्यूशन नियम जटिल तार्किक व्यंजकों को सरल बनाते हैं।
लॉजिक सर्किट को अक्सर बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करके सरल समकक्ष व्यंजकों में कम किया जा सकता है।
अनावश्यक लॉजिक गेट्स की पहचान करके हार्डवेयर की जटिलता को कम करता है।
मल्टी-गेट सर्किट के सरलीकरण को सत्यापित करने के लिए जटिल विश्लेषण की आवश्यकता होती है।
डिजिटल लॉजिक डिज़ाइन अनुकूलन
माइक्रोप्रोसेसर निर्देश डिकोडिंग
सर्किट का आउटपुट इनपुट A से स्वतंत्र है, जिससे अंतिम आउटपुट Y के लिए इनपुट A एक 'डोंट केयर' (don't care) स्थिति बन जाता है।
विकल्प B, C, और D गलत हैं क्योंकि वे दिए गए सर्किट आरेख की अंतिम सरलीकृत तार्किक समानता का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।
A सही है — लॉजिक सर्किट कनेक्टिविटी के आधार पर बूलियन व्यंजक Y=B में सरल हो जाता है।
यदि बूलियन बीजगणित का सरलीकरण बहुत जटिल हो जाए, तो हमेशा लॉजिक सर्किट के लिए ट्रुथ टेबल (सत्यता सारणी) को सत्यापित करें; इनपुट A और B को (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) के रूप में मैप करने से निर्भरता का तुरंत पता चल जाएगा।