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Chapter 1 of 12 • Page 1 of 248🔒 Protected PDF • Watermarked
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यदि वक्र की त्रिज्या और इसका प्रतिच्छेदन कोण 40m और 40° दिए गए हैं, तो स्पर्श रेखा (टेंजेंट) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
A) 14.55 m
B) 33.56 m
C) 109.89 m
D) 219.79 m
109.89 m
साधारण वृत्ताकार वक्र सर्वेक्षण में, स्पर्श रेखा की लंबाई (tangent length) वक्र बिंदु (PC) या प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) से स्पर्श बिंदु (PT) तक की दूरी होती है। इसकी गणना T=Rtan(D/2) सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ R वक्र की त्रिज्या है और D विक्षेपण कोण (deflection angle) है। जब प्रतिच्छेदन कोण I, 40° दिया गया हो, तो विक्षेपण कोण D=180°−I=140° होता है, जिससे स्पर्श रेखा की लंबाई 109.89 m प्राप्त होती है।
साधारण वृत्ताकार वक्र सर्वेक्षण में, स्पर्श रेखा की लंबाई (tangent length) वक्र बिंदु (PC) या प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) से स्पर्श बिंदु (PT) तक की दूरी होती है। इसकी गणना T=Rtan(D/2) सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ R वक्र की त्रिज्या है और D विक्षेपण कोण (deflection angle) है। जब प्रतिच्छेदन कोण I, 40° दिया गया हो, तो विक्षेपण कोण D=180°−I=140° होता है, जिससे स्पर्श रेखा की लंबाई 109.89 m प्राप्त होती है।
D=180°−I — प्रतिच्छेदन कोण (I) से विक्षेपण कोण
T=Rtan(2D) — साधारण वृत्ताकार वक्र की स्पर्श रेखा की लंबाई
एक साधारण वृत्ताकार वक्र की ज्यामिति कोण I पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी स्पर्श रेखाओं को जोड़ती है। स्पर्श रेखाओं के बीच का विक्षेपण कोण D, 180°−I के बराबर होता है। स्पर्श रेखा की लंबाई T वक्र के केंद्र, वक्र बिंदु और प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा बने समकोण त्रिभुज की आसन्न भुजा को दर्शाती है, जिससे T=Rtan(D/2) प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन कोण I पिछली और अगली स्पर्श रेखाओं के बीच का आंतरिक कोण है।
विक्षेपण कोण D वह कोण है जिससे सड़क या संरेखण मुड़ता है (D=180°−I)।
T=Rtan(D/2) में R=40 m और D/2=70° प्रतिस्थापित करने पर T=40×2.74748=109.89 m प्राप्त होता है।
राजमार्ग और रेलवे इंजीनियरिंग में साधारण वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करना।
घुमावदार सड़कों के साथ संपत्ति सीमा संरेखण का निर्धारण करना।
यदि 40° को सीधे विक्षेपण कोण D के रूप में गलत समझा गया होता, तो स्पर्श रेखा की लंबाई T=40tan(20°)=14.56 m (विकल्प A) होती।
विकल्प B (33.56 m) T=Rsin(70°)=37.58 m के उपयोग से मामूली समायोजन या सामान्य गलत गणनाओं से मेल खाता है।
विकल्प D (219.79 m) सही स्पर्श रेखा की लंबाई (2T) के दोगुने का प्रतिनिधित्व करता है।
C सही है — विक्षेपण कोण D=180°−40°=140°, जो स्पर्श रेखा की लंबाई T=40tan(70°)=109.89 m देता है।
हमेशा ध्यान से पढ़ें कि दिया गया कोण 'विक्षेपण कोण' (D) है या 'प्रतिच्छेदन कोण' (I), क्योंकि पारंपरिक वक्र संकेतन में D=180°−I होता है।
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