एक बीम के लिए, यदि स्थैतिकी (statics) के मूलभूत समीकरण सभी आधारों (supports) पर प्रतिक्रियात्मक बलों को निर्धा

Question

एक बीम के लिए, यदि स्थैतिकी (statics) के मूलभूत समीकरण सभी आधारों (supports) पर प्रतिक्रियात्मक बलों को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, तो संरचना को कहा जाता है

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C: स्थैतिक रूप से अनिर्धारित (Statically indeterminate)

Explanation & Concepts:
एक संरचना 'स्थैतिक रूप से अनिर्धारित' तब होती है जब स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या ($\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, और $\sum M = 0$) सभी अज्ञात प्रतिक्रियात्मक बलों को हल करने के लिए अपर्याप्त होती है। यह अनावश्यक बाधाओं या समर्थन के कारण होता है जो संरचनात्मक स्थिरता के लिए आवश्यक से अधिक प्रतिक्रिया घटक प्रदान करते हैं।

Working Principle: एक 2D बीम में, संतुलन के 3 बुनियादी समीकरण होते हैं। यदि अज्ञात प्रतिक्रिया घटकों की कुल संख्या ($r$) संतुलन समीकरणों की संख्या ($n$) से अधिक है, तो संरचना एक डिग्री ($D_s = r - n$) तक स्थैतिक रूप से अनिर्धारित होती है। अनावश्यक प्रतिक्रियाओं को हल करने के लिए संगतता स्थितियों (विकृति) पर आधारित अतिरिक्त समीकरणों की आवश्यकता होती है।

Key Formulas: $D_s = r - n$ — स्थैतिक अनिर्धार्यता की डिग्री; $r > n$ — स्थैतिक अनिर्धार्यता के लिए स्थिति

Key Points: केवल संतुलन समीकरण सभी समर्थन प्रतिक्रियाओं को खोजने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।; अनिर्धारित संरचनाएं आमतौर पर निर्धारित संरचनाओं की तुलना में अधिक कठोर होती हैं।; हल करने के लिए विस्थापन की संगतता की आवश्यकता होती है।; इन्हें हाइपरस्टैटिक संरचनाओं के रूप में भी जाना जाता है।

Advantages: उच्च अतिरेक (redundancy) बेहतर सुरक्षा कारक प्रदान करता है।; यदि एक अनुभाग अपनी प्लास्टिक क्षमता तक पहुँच जाता है तो आंतरिक बलों का पुनर्वितरण होता है।

Disadvantages: तापमान परिवर्तन या समर्थन निपटान के कारण आंतरिक तनाव उत्पन्न होते हैं।; निर्धारित संरचनाओं की तुलना में मैन्युअल विश्लेषण में जटिलता।

Applications: पुल निर्माण में निरंतर बीम।; हवा या भूकंपीय भार के अधीन भवन के ढांचे।; एयरोस्पेस संरचनाओं में उपयोग किए जाने वाले फिक्स्ड-एंड बीम।

Additional Info: निर्धारित संरचनाएं समाधान के लिए पूरी तरह से स्थैतिकी के नियमों पर निर्भर करती हैं।. एक प्रॉपड कैंटिलीवर बीम $D_s = 1$ वाली स्थैतिक रूप से अनिर्धारित संरचना का एक क्लासिक उदाहरण है।

Answer: C सही है — एक संरचना स्थैतिक रूप से अनिर्धारित होती है यदि अज्ञात मान स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या से अधिक हो जाते हैं।

Exam Tip: मैन्युअल गणना का प्रयास करने से पहले हमेशा यह सत्यापित करें कि क्या अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या ($r$) स्थैतिक संतुलन के समीकरणों की संख्या ($n=3$ बीम के लिए) से अधिक है।

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Option A: निर्धारित (Determinate)

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Option B: स्थैतिक रूप से निर्धारित (Statically determinate)

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Option D: इनमें से कोई नहीं

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