एक बीम (beam) के लिए, यदि स्थैतिकी (statics) के मूल समीकरण समर्थनों (supports) पर सभी प्रतिक्रियाशील बलों को न

Question

एक बीम (beam) के लिए, यदि स्थैतिकी (statics) के मूल समीकरण समर्थनों (supports) पर सभी प्रतिक्रियाशील बलों को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो संरचना को क्या कहा जाता है?

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B: स्थैतिक रूप से निर्धारित (Statically determinate)

Explanation & Concepts:
एक संरचना को स्थैतिक रूप से निर्धारित (statically determinate) कहा जाता है यदि इसकी सभी सपोर्ट प्रतिक्रियाओं और आंतरिक बलों की गणना केवल स्थैतिक संतुलन के तीन समीकरणों (एक 2D प्रणाली के लिए $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$) का उपयोग करके विशिष्ट रूप से की जा सकती है। यदि अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या से अधिक है, तो संरचना को स्थैतिक रूप से अनिर्धारित (statically indeterminate) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

Working Principle: एक 2D समतल संरचना में, 3 संतुलन समीकरण उपलब्ध होते हैं। मान लीजिए 'r' अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या है और 'c' स्थिति समीकरणों (जैसे आंतरिक कब्ज/hinges) की संख्या है। यदि $r = 3 + c$ है, तो संरचना स्थिर और निर्धारित होती है। यदि $r > 3 + c$ है, तो संरचना स्थैतिक रूप से अनिर्धारित होती है और अतिरिक्त अज्ञातों को हल करने के लिए विरूपण-आधारित संगतता समीकरणों (deformation-based compatibility equations) की आवश्यकता होती है।

Key Formulas: $r = 3 + c$ — 2D बीम संरचना के लिए निश्चयात्मकता (Determinacy) की स्थिति; $D_s = r - (3 + c)$ — स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री

Key Points: स्थैतिक रूप से निर्धारित संरचनाओं में तापमान परिवर्तन या सपोर्ट के धंसने के कारण आंतरिक प्रतिबल उत्पन्न नहीं होते हैं।; निश्चयात्मकता की जांच करने से पहले संरचना की स्थिरता को सत्यापित किया जाना चाहिए।; अनिर्धारित संरचनाएं आमतौर पर अधिक कठोर होती हैं और उनमें उच्च अतिरेक (redundancy) होती है, जो उन्हें प्रगतिशील पतन (progressive collapse) के खिलाफ अधिक सुरक्षित बनाती है।

Advantages: बुनियादी संतुलन समीकरणों का उपयोग करके सरल विश्लेषण।; आंतरिक बल सामग्री गुणों और सपोर्ट के धंसने से स्वतंत्र होते हैं।

Disadvantages: अनिर्धारित संरचनाओं की तुलना में कम संरचनात्मक अतिरेक।; निरंतर (अनिर्धारित) डिजाइनों की तुलना में लंबी अवधि की स्थितियों के लिए उच्च सामग्री की आवश्यकता।

Applications: साधारण समर्थित बीम (Simply supported beams); कैंटिलीवर बीम (Cantilever beams); तीन-कब्जे वाले आर्च (Three-hinged arches)

Additional Info: 3D संरचनाओं के लिए, 6 संतुलन समीकरण होते हैं, इसलिए मानदंड $r = 6$ हो जाता है।. विकल्प C उन अतिरेक संरचनाओं को संदर्भित करता है जहाँ अज्ञात संतुलन समीकरणों से अधिक हो जाते हैं, जिसके लिए विरूपण की संगतता की आवश्यकता होती है।

Answer: B सही है — एक संरचना स्थैतिक रूप से निर्धारित होती है जब स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या के बराबर होती है।

Exam Tip: प्रतियोगी परीक्षाओं में, हमेशा यह जांचें कि क्या संरचना पहले स्थिर है; एक अस्थिर संरचना में $r=3$ हो सकता है लेकिन फिर भी वह इंजीनियरिंग अर्थ में 'निर्धारित' नहीं होती है।

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Option A: निर्धारित (Determinate)

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Option C: स्थैतिक रूप से अनिर्धारित (Statically indeterminate)

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Option D: इनमें से कोई नहीं

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