यदि बीम को इस प्रकार समर्थित (supported) किया गया है कि समर्थनों पर केवल तीन अज्ञात प्रतिक्रियात्मक तत्व मौजूद

Question

यदि बीम को इस प्रकार समर्थित (supported) किया गया है कि समर्थनों पर केवल तीन अज्ञात प्रतिक्रियात्मक तत्व मौजूद हैं, तो इन्हें सांख्यिकी के निम्नलिखित मूलभूत समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है

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D: $\sum H = 0, \sum V = 0, \sum M = 0$

Explanation & Concepts:
एक बीम को तब स्थिर रूप से निर्धारित (statically determinate) माना जाता है जब अज्ञात प्रतिक्रिया बलों की संख्या उपलब्ध स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। एक सामान्य समतलीय बल प्रणाली के लिए, बीम को संतुलन की स्थिति में बनाए रखने के लिए सांख्यिकी के तीन स्वतंत्र समीकरण मौजूद होते हैं।

Working Principle: न्यूटन के प्रथम नियम और स्थिर संतुलन की स्थितियों के अनुसार, एक समतलीय बल प्रणाली के अधीन एक कठोर पिंड संतुलन में होता है यदि सभी क्षैतिज बलों, ऊर्ध्वाधर बलों, और तल में किसी भी बिंदु के परितः आघूर्णों का योग शून्य हो। जब किसी बीम में तीन अज्ञात प्रतिक्रिया घटक होते हैं, तो ये तीन रैखिक समीकरण सभी अज्ञातों को विशिष्ट रूप से हल करने के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक पर्याप्त प्रणाली प्रदान करते हैं।

Key Formulas: $\sum F_x = 0$ — क्षैतिज बलों का योग शून्य के बराबर; $\sum F_y = 0$ — ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य के बराबर; $\sum M_A = 0$ — बिंदु A के परितः आघूर्णों का योग शून्य के बराबर

Key Points: संतुलन तब प्राप्त होता है जब परिणामी बल और परिणामी आघूर्ण शून्य होते हैं।; तीन अज्ञात प्रतिक्रियाओं वाली संरचना स्थिर रूप से निर्धारित होती है।; यदि अज्ञात > 3 हैं, तो बीम स्थिर रूप से अनिर्धारित (statically indeterminate) होती है और समाधान के लिए विरूपण-आधारित विधियों (जैसे, स्लोप डिफ्लेक्शन या मोमेंट डिस्ट्रीब्यूशन) की आवश्यकता होती है।

Advantages: मूल बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके हल करने योग्य; सामग्री गुणों और क्रॉस-सेक्शनल कठोरता से स्वतंत्र

Disadvantages: यदि संरचना स्थिर रूप से अनिर्धारित है तो प्रतिक्रियाओं को निर्धारित नहीं किया जा सकता; यह मानता है कि संरचना कठोर है

Applications: सरल समर्थित बीम (Simply supported beams); ओवरहैंगिंग बीम; कैंटिलीवर बीम

Additional Info: एक समतलीय प्रणाली के लिए, स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की अधिकतम संख्या तीन तक सीमित है।. विकल्प A, B, और C आंशिक स्थितियाँ प्रदान करते हैं और तीन स्वतंत्र अज्ञातों को हल करने के लिए अपर्याप्त हैं।

Answer: D सही है — 2D बीम संरचना में तीन अज्ञात प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए स्थिर संतुलन के तीन मानक समीकरण आवश्यक और पर्याप्त हैं।

Exam Tip: बीम प्रतिक्रियाओं को हल करने का प्रयास करने से पहले हमेशा $D_s = r - 3$ का उपयोग करके स्थिर अनिर्धार्यता की डिग्री ($D_s$) को सत्यापित करें।

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Option A: $\sum H = 0$

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Option B: $\sum V = 0$

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Option C: $\sum H = 0, \sum V = 0$

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