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समानांतर अनुनाद (parallel resonance) के लिए आवृत्ति किसके द्वारा दी जाती है?

f = 2π √LC

f = 2π √L/C

f = 1/(2π √LC)

f = √L/C

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतElectricalBasic Electrical

f = 1/(2π √LC)

Quick Summary:

एक आदर्श समानांतर LC सर्किट के लिए अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) वह आवृत्ति है जिस पर प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है, जिसके परिणामस्वरूप अनंत प्रतिबाधा (आदर्श सर्किट में) प्राप्त होती है। गणितीय रूप से, इसे श्रेणी अनुनाद आवृत्ति के समान सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ — अनुनाद आवृत्ति सूत्र

$X_L = X_C \implies 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$ — अनुनाद पर प्रतिबाधा की स्थिति

⚙️ Working Principle

अनुनाद पर, संधारित्र का ससेप्टेंस (susceptance) $B_C = \omega C$ और प्रेरक का ससेप्टेंस $B_L = \frac{1}{\omega L}$ परिमाण में बराबर होते हैं। चूंकि समानांतर सर्किट में वे 180 डिग्री कला (phase) से बाहर होते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे प्रवेश्यता (admittance) का कुल प्रतिक्रियाशील घटक शून्य हो जाता है। यह सर्किट को विशुद्ध रूप से प्रतिरोधी भार के रूप में कार्य करने के लिए मजबूर करता है, जो स्रोत से न्यूनतम धारा खींचता है।

📌 Key Points

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समानांतर अनुनाद के परिणामस्वरूप न्यूनतम लाइन करंट और अधिकतम प्रतिबाधा होती है।
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सर्किट अनुनाद आवृत्ति पर एक शुद्ध अवरोधक (resistor) के रूप में व्यवहार करता है।
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गुणवत्ता कारक (Q-factor) अनुनाद शिखर की तीक्ष्णता को निर्धारित करता है।
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यदि सर्किट को आदर्श माना जाए तो यह सूत्र प्रतिरोध से स्वतंत्र है।

✅ Advantages

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अनुनाद आवृत्ति पर उच्च प्रतिबाधा
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विशिष्ट आवृत्तियों को फ़िल्टर करने के लिए प्रभावी

❌ Disadvantages / Limitations

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घटकों में परिवर्तन के प्रति संवेदनशीलता
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उच्च Q पर घटकों के आर-पार उच्च वोल्टेज विकसित हो सकता है

🛠️ Applications / Uses

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रेडियो रिसीवर में ट्यूनिंग सर्किट
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ऑसिलेटर सर्किट
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बैंड-पास और बैंड-स्टॉप फ़िल्टर

📄 Additional Information

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प्रेरक शाखा में प्रतिरोध वाले वास्तविक दुनिया के समानांतर सर्किट में, अनुनाद आवृत्ति थोड़ी संशोधित होकर $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{L^2}}$ हो जाती है।
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विकल्प A गलत है क्योंकि आवृत्ति LC के वर्गमूल के समानुपाती नहीं हो सकती है।
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विकल्प C प्रतिक्रियाशील ससेप्टेंस को बराबर करके प्राप्त मानक अभिव्यक्ति है।

📊 Diagram / Illustration

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C सही है — समानांतर अनुनाद आवृत्ति को उस स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां प्रेरक और धारितीय ससेप्टेंस संतुलित होते हैं, जिससे $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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अनुनाद (Resonance) ससेप्टेंस (Susceptance) प्रतिबाधा (Impedance)

💡 EXAM TIP

हमेशा याद रखें कि श्रेणी और समानांतर दोनों LC सर्किट के लिए, अनुनाद आवृत्ति सूत्र $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ही होता है, लेकिन लाइन करंट पर प्रभाव विपरीत होता है: श्रेणी अनुनाद अधिकतम करंट देता है, जबकि समानांतर अनुनाद न्यूनतम करंट देता है।

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