एक रेखा के लिए अक्षांश (latitude) और प्रस्थान (departure) कितना होगा, जब इसका दिक्मान (bearing) S50°E और लंबाई

Question

एक रेखा के लिए अक्षांश (latitude) और प्रस्थान (departure) कितना होगा, जब इसका दिक्मान (bearing) S50°E और लंबाई 50m है?

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C: L = 32.13 (S), D = 38.30(E)

Explanation & Concepts:
एक रेखा का अक्षांश ($L$) और प्रस्थान ($D$) क्रमशः उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम याम्योत्तर (meridian) दिशाओं में इसके लंबवत घटक होते हैं। $l$ लंबाई और SE चतुर्थांश (S $	heta$ E) में समानीत दिक्मान (reduced bearing) $	heta$ वाली रेखा के लिए, अक्षांश दक्षिण ($l \cos 	heta$) की ओर और प्रस्थान पूर्व ($l \sin 	heta$) की ओर निर्देशित होता है।

Working Principle: अक्षांश संदर्भ याम्योत्तर (उत्तर-दक्षिण रेखा) पर एक रेखा के प्रक्षेप की लंबाई है, जिसकी गणना $L = l \cos 	heta$ के रूप में की जाती है। प्रस्थान लंबवत अक्ष (पूर्व-पश्चिम रेखा) पर प्रक्षेप की लंबाई है, जिसकी गणना $D = l \sin 	heta$ के रूप में की जाती है। चूंकि दिक्मान S50°E दूसरे चतुर्थांश (दक्षिण-पूर्व) में आता है, इसलिए अक्षांश ऋणात्मक (दक्षिण) होता है और प्रस्थान धनात्मक (पूर्व) होता है।

Key Formulas: $	ext{अक्षांश } (L) = l \cos 	heta$ — उत्तर-दक्षिण अक्ष पर रेखा का प्रक्षेप; $	ext{प्रस्थान } (D) = l \sin 	heta$ — पूर्व-पश्चिम अक्ष पर रेखा का प्रक्षेप

Key Points: उत्तर चतुर्थांश में अक्षांश धनात्मक और दक्षिण चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।; पूर्व चतुर्थांश में प्रस्थान धनात्मक और पश्चिम चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।; दिक्मान S50°E के लिए: अक्षांश दक्षिण (S) की ओर निर्देशित है और प्रस्थान पूर्व (E) की ओर निर्देशित है।; गणना: $L = 50 	imes \cos(50^\circ) = 32.139	ext{ m (S)}$, $D = 50 	imes \sin(50^\circ) = 38.302	ext{ m (E)}$।

Applications: मालारेखण सर्वेक्षण (traverse surveying) में क्रमिक निर्देशांकों की गणना; मालारेखण समापन त्रुटि (traverse closure error) की जाँच करना और बंद मालारेखण का समायोजन करना

Additional Info: विकल्प A उत्तर अक्षांश और पश्चिम प्रस्थान देता है, जो N50°W के संगत है।. विकल्प B उत्तर अक्षांश और पूर्व प्रस्थान देता है, जो N50°E के संगत है।. विकल्प D दक्षिण अक्षांश और पश्चिम प्रस्थान देता है, जो S50°W के संगत है।

Answer: C सही है — 50m लंबाई वाली रेखा जिसका दिक्मान S50°E है, उसके लिए अक्षांश $50 \cos 50^\circ = 32.13	ext{ m (दक्षिण)}$ और प्रस्थान $50 \sin 50^\circ = 38.30	ext{ m (पूर्व)}$ है।

Exam Tip: त्रिकोणमितीय मानों की गणना करने से पहले दिशात्मक संकेतों (अक्षांश के लिए N/S, प्रस्थान के लिए E/W) को तय करने के लिए हमेशा सबसे पहले समानीत दिक्मान (RB) के चतुर्थांश की पहचान करें।

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Option A: L = 32.13 (N), D = 38.30(W)

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Option B: L = 32.13 (N), D = 38.30(E)

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Option D: L = 32.13 (S), D = 38.30(W)

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