समापन कोण (Angle of closure) कैसे ज्ञात किया जाता है?

Question

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A: $	an	heta = \frac{\Sigma D}{\Sigma L}$

Explanation & Concepts:
किसी बंद ट्रैवर्स (closed traverse) में समापन कोण (angle of closure या समापन त्रुटि की दिशा) वह कोण $	heta$ होता है जिसकी स्पर्शज्या (tangent) डिपार्चर की कुल त्रुटि ($\Sigma D$) और अक्षांश (latitude) की कुल त्रुटि ($\Sigma L$) के अनुपात के बराबर होती है। यह समापन त्रुटि रेखा के कोणीय दिकमान (angular bearing) को परिभाषित करता है।

Working Principle: जब क्षेत्र प्रेक्षणों का उपयोग करके एक बंद ट्रैवर्स का आलेखन किया जाता है, तो डिपार्चर का कुल योग ($\Sigma D$) और अक्षांशों का कुल योग ($\Sigma L$) सैद्धांतिक रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए। प्रेक्षण त्रुटियों के कारण, $\Sigma D 
eq 0$ और $\Sigma L 
eq 0$ होता है। परिणामी समापन त्रुटि $e$, $e = \sqrt{(\Sigma D)^2 + (\Sigma L)^2}$ द्वारा दी जाती है, और याम्योत्तर (meridian) के सापेक्ष इसकी दिशा $	heta$ को $	an	heta = \frac{\Sigma D}{\Sigma L}$ का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

Key Formulas: $	an	heta = \frac{\Sigma D}{\Sigma L}$ — समापन कोण (समापन त्रुटि की दिशा); $e = \sqrt{(\Sigma D)^2 + (\Sigma L)^2}$ — रेखीय समापन त्रुटि; 	ext{सापेक्ष समापन त्रुटि} = \frac{e}{	ext{परिमाप}}$ — ट्रैवर्स की परिशुद्धता

Key Points: अक्षांश ($L$) उत्तर-दक्षिण याम्योत्तर पर एक ट्रैवर्स रेखा का प्रक्षेप है ($L = l \cos	heta$)।; डिपार्चर ($D$) पूर्व-पश्चिम लंबवत रेखा पर एक ट्रैवर्स रेखा का प्रक्षेप है ($D = l \sin	heta$)।; पूर्णतः बंद ट्रैवर्स के लिए, $\Sigma L = 0$ और $\Sigma D = 0$ होता है।; $	heta$ का चतुर्थांश (quadrant) $\Sigma D$ और $\Sigma L$ के बीजगणितीय चिह्नों पर निर्भर करता है।

Applications: टोटल स्टेशन और थियोडोलाइट ट्रैवर्सिंग में त्रुटि वेक्टर की दिशा निर्धारित करना।; बंद ट्रैवर्स को समायोजित करने के लिए बाउडिच (Bowditch) या ट्रांजिट नियम का उपयोग करके सुधार लागू करना।

Additional Info: विकल्प B ($\tan\theta = \frac{D}{L}$) एक व्यक्तिगत रेखा का दिकमान (bearing) देता है, न कि ट्रैवर्स की समापन त्रुटि।. विकल्प C ($\tan\theta = \frac{L}{D}$) रेखा के दिकमान कोण के कोटैंजेंट (cotangent) को दर्शाता है।. विकल्प D ($\tan\theta = \frac{\Sigma L}{\Sigma D}$) में अंश और हर उल्टे हुए हैं।

Answer: A सही है — समापन कोण $	heta$ की गणना $	an	heta = \frac{\Sigma D}{\Sigma L}$ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ $\Sigma D$ कुल डिपार्चर त्रुटि है और $\Sigma L$ कुल अक्षांश त्रुटि है।

Exam Tip: याद रखें कि $	an	heta = \frac{	ext{पूर्व-पश्चिम त्रुटि}}{	ext{उत्तर-दक्षिण त्रुटि}} = \frac{\Sigma D}{\Sigma L}$ होता है। यह गणितीय रूप से कार्टेशियन समतल पर $	an	heta = \frac{y}{x}$ के साथ सुसंगत है जहाँ डिपार्चर X-अक्ष और अक्षांश Y-अक्ष के अनुरूप होता है।

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Option B: $	an	heta = \frac{D}{L}$

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Option C: $	an	heta = \frac{L}{D}$

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Option D: $	an	heta = \frac{\Sigma L}{\Sigma D}$

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