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Chapter 1 of 12 • Page 1 of 248🔒 Protected PDF • Watermarked
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curve (वक्र) के लिए mid ordinate (मध्य-कोटि) की लंबाई ज्ञात करने की विधि क्या है?
Oo=R−R2−(2L)2
M=R(1−cos(2Δ))
A और B दोनों
इनमें से कोई नहीं
A और B दोनों
Mid-ordinate (जिसे वक्र का वर्साइन भी कहा जाता है) जीवा (chord) के मध्य बिंदु से वृत्तीय चाप (circular arc) के मध्य बिंदु तक की दूरी है। इसे ज्यामितीय रूप से जीवा की लंबाई (L) और त्रिज्या (R) का उपयोग करके या वक्र के विक्षेपण कोण (Δ) का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है।
Mid-ordinate (जिसे वक्र का वर्साइन भी कहा जाता है) जीवा (chord) के मध्य बिंदु से वृत्तीय चाप (circular arc) के मध्य बिंदु तक की दूरी है। इसे ज्यामितीय रूप से जीवा की लंबाई (L) और त्रिज्या (R) का उपयोग करके या वक्र के विक्षेपण कोण (Δ) का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है।
Oo=R−R2−(L/2)2 — जीवा-आधारित विधि
M=R(1−cos(2Δ)) — कोण-आधारित विधि
ज्यामितीय रूप से, एक वृत्तीय वक्र के लिए, केंद्र से जीवा तक की दूरी R2−(L/2)2 होती है। कुल त्रिज्या R से इस दूरी को घटाकर, हम mid-ordinate Oo प्राप्त करते हैं। वैकल्पिक रूप से, त्रिज्या और कोण Δ/2 द्वारा निर्मित त्रिभुज का उपयोग करके, ऑफसेट को त्रिकोणमितीय प्रक्षेपण के माध्यम से R(1−cos(Δ/2)) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
Mid-ordinate, जीवा से वक्र तक की अधिकतम लंबवत दूरी है।
इसका उपयोग मुख्य रूप से फील्ड इंजीनियरिंग में लंबी जीवा से ऑफसेट का उपयोग करके वृत्तीय वक्र सेट करने के लिए किया जाता है।
Oo का मान वक्र की त्रिज्या पर व्युत्क्रमानुपाती होता है; सपाट वक्रों का mid-ordinate कम होता है।
जटिल ट्रांजिट उपकरणों के बिना वक्रता को परिभाषित करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।
मौजूदा रेलवे या सड़क वक्रों के संरेखण (alignment) की जाँच के लिए उपयोगी है।
त्रिज्या के सापेक्ष बहुत लंबी जीवाओं के लिए सटीकता काफी कम हो जाती है।
जीवा के मध्य बिंदु के सटीक मापन की आवश्यकता होती है।
राजमार्ग और रेलवे वक्र सेटिंग।
सर्वेक्षण में वृत्तीय चाप ज्यामिति का सत्यापन।
विकल्प A में त्रिज्या, जीवा की आधी लंबाई और mid-ordinate द्वारा निर्मित त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया गया है।
विकल्प B में स्पर्शरेखा-अवरोधन बिंदु के सापेक्ष त्रिज्या वेक्टर के सरल त्रिकोणमितीय वियोजन का उपयोग किया गया है।
दोनों विधियाँ एक ही भौतिक गुण के लिए गणितीय रूप से समतुल्य अभिव्यक्तियाँ हैं।
C सही है — दोनों सूत्र वृत्तीय वक्र के mid-ordinate के ज्यामितीय निर्धारण का सही प्रतिनिधित्व करते हैं।
हमेशा सत्यापित करें कि क्या प्रश्न लंबी जीवा के ऑफसेट (mid-ordinate) के बारे में पूछ रहा है या किसी विशिष्ट स्पर्शरेखा ऑफसेट के बारे में, क्योंकि सूत्र अलग-अलग होते हैं।
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