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MathematicsAlgebra

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यदि किसी A.P. का 8वाँ और 12वाँ पद क्रमशः 82 और 478 है, तो इसका 50वाँ पद क्या होगा:

4241

4242

4238

4240

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsAlgebra

4240

Quick Summary:

सार्व अंतर (common difference) की गणना $d = \frac{a_{12} - a_8}{12 - 8} = \frac{478 - 82}{4} = 99$ के रूप में करें। फिर $a_{50} = a_{12} + 38d$ की गणना करें।

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📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

8वाँ पद $(a_8)$ = 82, 12वाँ पद $(a_12)$ = 478

🔢 Formula Used

an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)dan​=a+(n−1)d

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर पहले पद 'a' के लिए अलग से हल करते हैं जो समय बर्बाद करता है; सापेक्ष स्थिति सूत्र $a_m = a_n + (m-n)d$ का उपयोग करना अधिक तेज़ है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

पदों को परिभाषित करें

A.P. के $n$ -वें पद के सूत्र का उपयोग करके, हम 8वें और 12वें पद के लिए समीकरण लिखते हैं।

a+7d=82,a+11d=478a + 7d = 82, \quad a + 11d = 478a+7d=82,a+11d=478

सार्व अंतर (d) की गणना करें

$d$ को अलग करने के लिए दूसरे समीकरण में से पहला समीकरण घटाएं।

(a+11d)−(a+7d)=478−82  ⟹  4d=396  ⟹  d=99(a + 11d) - (a + 7d) = 478 - 82 \implies 4d = 396 \implies d = 99(a+11d)−(a+7d)=478−82⟹4d=396⟹d=99

50वें पद $(a_50)$ की गणना करें

संबंध $a_{50} = a_{12} + (50-12)d$ का उपयोग करके 50वें पद को ज्ञात करने के लिए 12वें पद और सार्व अंतर का उपयोग करें।

a50=478+38×99a_{50} = 478 + 38 \times 99a50​=478+38×99

अंतिम गणना

38 को 99 से गुणा करें और परिणाम को 478 में जोड़ें।

a50=478+3762=4240a_{50} = 478 + 3762 = 4240a50​=478+3762=4240

✅

D सही है क्योंकि समांतर श्रेणी (arithmetic progression) का गणना किया गया 50वाँ पद 4240 है।

Core Concepts Used

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समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) रैखिक समीकरण सार्व अंतर (Common Difference)

💡 EXAM TIP

यह सापेक्ष अंतर विधि ( $a_m = a_n + (m-n)d$ ) निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) में दो बिंदु दिए होने पर रेखा पर बिंदु खोजने के लिए अत्यंत उपयोगी है।

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