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MathematicsTrigonometry

यदि $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $D$ का मान ज्ञात कीजिए जब $(\sec \theta - \tan \theta)^2 = \frac{1 - \sin \theta}{D}$ हो।

1 + $\sin \theta$

1 - $\sin \theta$

1 + $\cos \theta$

1 - $\cos \theta$

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsTrigonometry

1 + $\sin \theta$

Quick Summary:

$\theta = 0 (\text{या} 30 \text{डिग्री जैसा कोई छोटा कोण}) \text{रखें।} \theta = 0 \text{के लिए}, (sec 0$ - tan $0)^2$ = (1- $0)^2$ = 1. समीकरण 1 = (1-0)/D बन जाता है, अतः D = 1. जाँचें कि $\theta = 0$ पर कौन सा विकल्प 1 देता है: विकल्प A, 1+0=1 देता है।

📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

न्यून कोण $\theta$ के त्रिकोणमितीय फलनों से युक्त एक समीकरण: (sec $\theta -$ tan $\theta)^2 = (1 -$ sin $\theta) / D$ ।

🔢 Formula Used

sec⁡θ=1cos⁡θ,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1secθ=cosθ1​,tanθ=cosθsinθ​,sin2θ+cos2θ=1

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

कई छात्र हर (denominator) में पाइथागोरस सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ को लागू करना भूल जाते हैं, जिससे गलत सरलीकरण होता है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

साइन और कोसाइन में व्यक्त करना

सेकेंट (secant) और टेंजेंट (tangent) फलनों को साइन और कोसाइन अनुपातों में बदलें।

(sec⁡θ−tan⁡θ)2=(1cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)2=(1−sin⁡θcos⁡θ)2(\sec \theta - \tan \theta)^2 = \left( \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2 = \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right)^2(secθ−tanθ)2=(cosθ1​−cosθsinθ​)2=(cosθ1−sinθ​)2

व्यंजक का वर्ग करना

अंश और हर दोनों पर वर्ग का विस्तार करें।

(1−sin⁡θ)2cos⁡2θ\frac{(1 - \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}cos2θ(1−sinθ)2​

सर्वसमिका का उपयोग करें

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करें और हर का गुणनखंड करें।

(1−sin⁡θ)21−sin⁡2θ=(1−sin⁡θ)2(1−sin⁡θ)(1+sin⁡θ)\frac{(1 - \sin \theta)^2}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{(1 - \sin \theta)^2}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}1−sin2θ(1−sinθ)2​=(1−sinθ)(1+sinθ)(1−sinθ)2​

सरल करें और बराबर रखें

दिए गए रूप से मिलाने के लिए समान कारकों को काटें।

1−sin⁡θ1+sin⁡θ=1−sin⁡θD  ⟹  D=1+sin⁡θ\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta} = \frac{1 - \sin \theta}{D} \implies D = 1 + \sin \theta1+sinθ1−sinθ​=D1−sinθ​⟹D=1+sinθ

✅

A सही है क्योंकि दिए गए व्यंजक का बीजगणितीय सरलीकरण $D = 1 + \sin \theta$ की ओर ले जाता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बीजगणितीय गुणनखंडन भिन्नात्मक सरलीकरण

💡 EXAM TIP

sec और tan को sin और cos में बदलने की यह अवधारणा त्रिकोणमिति में अधिकांश R.H.S. सत्यापन समस्याओं को हल करने के लिए आधारभूत है।

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