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MathematicsAlgebra

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यदि $x + y = 10$ और $xy = 16$ है, तो $\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)$ का संख्यात्मक मान होगा:

1.25

2.125

3.5

4.25

Correct Answer

📐 MA • Math बीजगणितीय सर्वसमिकाMathematicsAlgebra

125

Quick Summary:

व्यंजक को $\frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy}$ के रूप में लिखें। सीधे योग (10) और गुणनफल (16) के मानों को प्रतिस्थापित करें: $\frac{100 - 32}{16} = \frac{68}{16} = 4.25$ ।

📐MAMath Solutionबीजगणितीय सर्वसमिका

📋 Given

चर x + y = 10 का योग और उनका गुणनफल xy = 16 है।

🔢 Formula Used

xy+yx=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy}yx​+xy​=xyx2+y2​=xy(x+y)2−2xy​

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

विद्यार्थी अक्सर द्विघात समीकरण $t^2 - 10t + 16 = 0$ का उपयोग करके $x$ और $y$ का व्यक्तिगत मान निकालने का प्रयास करते हैं, जो अनावश्यक और समय लेने वाला है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

व्यंजक को सरल बनाना

दिए गए व्यंजक $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करें।

xy+yx=x2+y2xy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}yx​+xy​=xyx2+y2​

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को लागू करना

अंश को दिए गए मानों के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए सर्वसमिका $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ का उपयोग करें।

(x+y)2−2xyxy\frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy}xy(x+y)2−2xy​

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना

सूत्र में $x+y = 10$ और $xy = 16$ रखें।

(10)2−2(16)16=100−3216\frac{(10)^2 - 2(16)}{16} = \frac{100 - 32}{16}16(10)2−2(16)​=16100−32​

अंतिम गणना

परिणाम को विभाजित करके अंतिम संख्यात्मक मान की गणना करें।

6816=4.25\frac{68}{16} = 4.251668​=4.25

✅

D सही है क्योंकि बीजगणितीय सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर परिणाम 4.25 प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ द्विघात संबंध भिन्न सरलीकरण

💡 EXAM TIP

यह सर्वसमिका $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ बीजगणित और निर्देशांक ज्यामिति दोनों में सममित बहुपदों (symmetric polynomials) से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए मौलिक है।

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