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एक कक्षा में 50 विद्यार्थियों में से, 30 गणित पसंद करते हैं, 25 विज्ञान पसंद करते हैं, और 10 दोनों पसंद करते हैं। कितने विद्यार्थी दोनों में से कुछ भी पसंद नहीं करते हैं?
5
10
15
20
5
उन छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो दोनों में से किसी भी विषय को पसंद नहीं करते हैं, हम समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करते हैं। कम से कम एक विषय को पसंद करने वाले छात्रों की कुल संख्या गणित और विज्ञान को पसंद करने वाले छात्रों को जोड़कर, और फिर दोनों को पसंद करने वाले छात्रों को घटाकर गणना की जाती है, जिससे 45 छात्र प्राप्त होते हैं। 50 की कुल संख्या में से इस मान को घटाने पर पता चलता है कि 5 छात्र दोनों में से किसी भी विषय को पसंद नहीं करते हैं।
उन छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो दोनों में से किसी भी विषय को पसंद नहीं करते हैं, हम समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करते हैं। कम से कम एक विषय को पसंद करने वाले छात्रों की कुल संख्या गणित और विज्ञान को पसंद करने वाले छात्रों को जोड़कर, और फिर दोनों को पसंद करने वाले छात्रों को घटाकर गणना की जाती है, जिससे 45 छात्र प्राप्त होते हैं। 50 की कुल संख्या में से इस मान को घटाने पर पता चलता है कि 5 छात्र दोनों में से किसी भी विषय को पसंद नहीं करते हैं।
समुच्चय सिद्धांत (Set theory) और वेन आरेख (Venn diagram) के सिद्धांत भारतीय प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे RRB, SSC और UPSC सिविल सेवा CSAT में तार्किक तर्क (logical reasoning) और डेटा व्याख्या (data interpretation) अनुभागों के लिए मात्रात्मक आधार का काम करते हैं।
कक्षा की कुल छात्र संख्या 50 है।
गणित या विज्ञान या दोनों को पसंद करने वाले छात्रों की गणना n(M union S) = n(M) + n(S) - n(M intersection S) का उपयोग करके की जाती है।
कुल छात्रों में से यूनियन को घटाने पर शेष संख्या 5 प्राप्त होती है।
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत कई सेटों से संबंधित तत्वों की दो बार गिनती (double-counting) को रोकता है।
विकल्प B (10) प्रतिच्छेदन (intersection) को घटाने में विफलता को दर्शाता है।
विकल्प C (15) और विकल्प D (20) सेट गणना के दौरान गणितीय त्रुटियों से उत्पन्न होते हैं।
A सही है — कुल 50 छात्रों में से कम से कम एक विषय पसंद करने वाले 45 छात्रों को घटाने पर 5 छात्र ऐसे मिलते हैं जो किसी को पसंद नहीं करते हैं।
समुच्चय सिद्धांत की मूल बातों में महारत हासिल करना RRB तकनीशियन और NTPC परीक्षाओं में अक्सर शामिल होने वाले जटिल डेटा इंटरप्रिटेशन वेन आरेख सेट को हल करने में काफी मदद करता है।