एक श्रेणी RLC परिपथ में, अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) पर वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angl

Question

एक श्रेणी RLC परिपथ में, अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) पर वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण (phase angle) कितना होता है?

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The correct answer is C: 0 डिग्री. एक श्रेणी RLC परिपथ की अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) पर, प्रेरणिक प्रतिघात ($X_L$) ठीक धारितीय प्रतिघात ($X_C$) के बराबर होता है, जिससे परिपथ का कुल प्रतिघात शून्य हो जाता है। परिणामस्वरूप, परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक भार के रूप में कार्य करता है, जिसके कारण धारा अनुप्रयुक्त वोल्टेज के साथ समान कला (phase) में होती है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
एक श्रेणी RLC परिपथ की अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) पर, प्रेरणिक प्रतिघात ($X_L$) ठीक धारितीय प्रतिघात ($X_C$) के बराबर होता है, जिससे परिपथ का कुल प्रतिघात शून्य हो जाता है। परिणामस्वरूप, परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक भार के रूप में कार्य करता है, जिसके कारण धारा अनुप्रयुक्त वोल्टेज के साथ समान कला (phase) में होती है।

Working Principle: एक RLC श्रेणी परिपथ में, कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है। अनुनाद पर, $X_L = X_C$ (या $\omega L = \frac{1}{\omega C}$) की स्थिति पूरी होती है, जो प्रतिबाधा को न्यूनतम करके $Z = R$ कर देती है। चूँकि प्रतिबाधा का काल्पनिक घटक शून्य होता है, इसलिए कला कोण $\phi = 	an^{-1}(\frac{X_L - X_C}{R})$ का मान $0^\circ$ हो जाता है।

Key Formulas: $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ — अनुनाद आवृत्ति का सूत्र; $\phi = 	an^{-1}(\frac{X_L - X_C}{R})$ — कला कोण का सूत्र; $X_L = 2\pi fL$ — प्रेरणिक प्रतिघात; $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ — धारितीय प्रतिघात

Key Points: अनुनाद पर, परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) इकाई ($cos \phi = 1$) होता है।; अनुनाद आवृत्ति पर प्रतिबाधा न्यूनतम होती है और प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।; अनुनाद आवृत्ति पर परिपथ की धारा अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाती है।; अनुनाद केवल तब होता है जब परिपथ श्रेणी संयोजन में हो।

Advantages: अनुनाद पर अधिकतम शक्ति अंतरण (power transfer) होता है।; ट्यूनिंग सर्किट में अत्यधिक चयनात्मक आवृत्ति प्रतिक्रिया (selective frequency response)।

Disadvantages: अनुनाद के निकट उच्च धाराएं घटकों को नुकसान पहुँचा सकती हैं यदि ठीक से डिज़ाइन न किया गया हो।; प्रतिक्रियाशील घटकों में वोल्टेज का बढ़ना इन्सुलेशन पर दबाव डाल सकता है।

Applications: रेडियो और टेलीविज़न ट्यूनिंग सर्किट।; बैंड-पास फ़िल्टर डिज़ाइन।

Additional Info: जब $X_L > X_C$ होता है तो कला कोण धनात्मक (लैगिंग) होता है और जब $X_C > X_L$ होता है तो ऋणात्मक (लीडिंग) होता है।. विकल्प A (90 डिग्री) केवल शुद्ध प्रेरक या संधारित्र के लिए मान्य है।. विकल्प B (45 डिग्री) तब होता है जब $R = X_L - X_C$ हो।. विकल्प D (180 डिग्री) एक साधारण श्रेणी RLC परिपथ के लिए भौतिक रूप से संभव नहीं है।

Answer: C सही है — अनुनाद पर, कुल प्रतिघात शून्य होता है, जिससे परिपथ शुद्ध रूप से प्रतिरोधक बन जाता है और वोल्टेज तथा धारा के बीच का कला कोण $0^\circ$ हो जाता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि एक श्रेणी परिपथ में अनुनाद का अर्थ इकाई शक्ति गुणांक होता है; यह सभी इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग परीक्षाओं में बार-बार पूछा जाने वाला एक महत्वपूर्ण कॉन्सेप्ट है।

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Option A: 90 डिग्री

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Option B: 45 डिग्री

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Option D: 180 डिग्री

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