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MathematicsSet Theory

50 छात्रों के एक समूह में, 28 अंग्रेजी में उत्तीर्ण हुए, 30 हिंदी में उत्तीर्ण हुए, और 12 दोनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। कितने छात्र दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण रहे?

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsSet Theory

Quick Summary:

कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों के संघ (union) की गणना व्यक्तिगत उत्तीर्ण छात्रों को जोड़कर और उनके प्रतिच्छेदन (intersection) को घटाकर करें ( $28 + 30 - 12 = 46$ ), फिर इस परिणाम को कुल छात्रों की संख्या में से घटा दें ( $50 - 46 = 4$ )।

📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

कुल छात्र = 50, अंग्रेजी में उत्तीर्ण = 28, हिंदी में उत्तीर्ण = 30, दोनों में उत्तीर्ण = 12

🔢 Formula Used

n(E∪H)=n(E)+n(H)−n(E∩H)n(E \cup H) = n(E) + n(H) - n(E \cap H)n(E∪H)=n(E)+n(H)−n(E∩H)

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

कई छात्र कुल संख्या में से केवल एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या घटा देते हैं, यह भूल जाते हैं कि समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) के अनुसार दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों के ओवरलैप का हिसाब रखना आवश्यक है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

समुच्चयों को परिभाषित करें

मान लीजिए $E$ उन छात्रों का समुच्चय है जो अंग्रेजी में उत्तीर्ण हुए और $H$ उन छात्रों का समुच्चय है जो हिंदी में उत्तीर्ण हुए। हमें $n(E) = 28$ , $n(H) = 30$ , और $n(E \cap H) = 12$ दिया गया है।

n(E)=28,n(H)=30,n(E∩H)=12n(E) = 28, \quad n(H) = 30, \quad n(E \cap H) = 12n(E)=28,n(H)=30,n(E∩H)=12

कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या ज्ञात करें

समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए, उन छात्रों की संख्या ज्ञात करें जो अंग्रेजी या हिंदी या दोनों में उत्तीर्ण हुए: $n(E \cup H) = 28 + 30 - 12 = 46$ ।

n(E∪H)=28+30−12=46n(E \cup H) = 28 + 30 - 12 = 46n(E∪H)=28+30−12=46

अनुत्तीर्ण छात्रों की गणना करें

दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या कुल छात्रों की संख्या में से कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों को घटाने पर प्राप्त होती है: $50 - 46 = 4$ ।

50−46=450 - 46 = 450−46=4

✅

A सही है क्योंकि कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या 46 है, जिससे 4 छात्र शेष बचते हैं जो दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण रहे।

Core Concepts Used

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समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) वेन आरेख निरूपण (Venn Diagram representation)

💡 EXAM TIP

यह तर्क प्रायिकता (Probability) में दो घटनाओं के संघ को खोजने के समान है। दोहरी गणना से बचने के लिए हमेशा पहले प्रतिच्छेदन (intersection) की पहचान करें।

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