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ElectricalBasic Electrical

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एक AC परिपथ में, यदि वोल्टेज V = (a+jb) और धारा I = (c+jd) है, तो शक्ति (power) किसके द्वारा दी जाती है?

$ac+ad$

$ac+bd$

$bc-ad$

$bc+ad$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतElectricalBasic Electrical

$ac+bd$

Quick Summary:

एक AC परिपथ में, सम्मिश्र शक्ति (complex power) $S$ को वोल्टेज फेजर $V$ और धारा फेजर $I$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) $I^*$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। $V = a+jb$ और $I = c+jd$ के लिए, संयुग्मी $I^* = c-jd$ है, इसलिए $S = (a+jb)(c-jd) = (ac+bd) + j(bc-ad)$ होगा।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$S = V \cdot I^*$

$P = Re(S) = ac+bd$

$Q = Im(S) = bc-ad$

⚙️ Working Principle

सम्मिश्र शक्ति का वास्तविक भाग, $P = Re(S)$ , परिपथ में व्यय होने वाली सक्रिय शक्ति (active power) को दर्शाता है। गुणनफल $(a+jb)(c-jd)$ की गणना करने पर $ac - jad + jbc - j^2bd$ प्राप्त होता है। चूँकि $j² = -1$ होता है, इसलिए पद $-j^2bd$ , $+bd$ बन जाता है, जिससे वास्तविक घटक $ac+bd$ प्राप्त होता है।

📌 Key Points

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सम्मिश्र शक्ति $S$ को वोल्ट-एम्पियर (VA) में मापा जाता है।
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वास्तविक भाग $P$ सक्रिय शक्ति है जिसे वाट (W) में मापा जाता है।
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काल्पनिक भाग $Q$ प्रतिक्रियाशील शक्ति (reactive power) है जिसे वोल्ट-एम्पियर रिएक्टिव (VAR) में मापा जाता है।
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प्रतिक्रियाशील शक्ति के लिए सही चरण संबंध (phase relationship) बनाए रखने के लिए धारा का संयुग्मी लेना आवश्यक है।

✅ Advantages

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प्रतिरोधक और प्रतिक्रियाशील घटकों के एकीकृत विश्लेषण की अनुमति देता है।
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स्थिर-अवस्था (steady-state) AC प्रणालियों में शक्ति प्रवाह गणना को सरल बनाता है।

❌ Disadvantages / Limitations

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सम्मिश्र संख्याओं और फेजर संकेतन की समझ की आवश्यकता होती है।
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फूरियर रूपांतरण के बिना गैर-ज्यावक्रीय (non-sinusoidal) तरंगों पर लागू नहीं होता है।

🛠️ Applications / Uses

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विद्युत प्रणाली लोड प्रवाह विश्लेषण।
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विद्युत मशीनों और ट्रांसमिशन लाइनों का डिजाइन।
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AC मोटर पावर फैक्टर सुधार।

📄 Additional Information

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सक्रिय शक्ति, वोल्टेज और धारा के संयुग्मी के गुणनफल का वास्तविक भाग होती है।
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विकल्प A ( $ac+ad$ ) शक्ति घटकों के लिए आयामी (dimensionally) रूप से गलत है।
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विकल्प C ( $bc-ad$ ) परिपथ में प्रतिक्रियाशील शक्ति $Q$ को दर्शाता है।

📊 Diagram / Illustration

✅

B सही है — एक AC परिपथ में वास्तविक शक्ति को $V \cdot I^*$ के वास्तविक भाग द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसका मान $ac+bd$ होता है।

Core Concepts Used

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फेजर बीजगणित सम्मिश्र शक्ति सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्ति

💡 EXAM TIP

सम्मिश्र संयुग्मी को हमेशा याद रखें: शक्ति के लिए फेजर का गुणा करते समय, वोल्टेज और धारा के बीच के चरण कोण अंतर को सही ढंग से दर्शाने के लिए धारा का संयुग्मी ( $I^*$ ) लें।

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