एक संरक्षी बल (conservative force) के मामले में, स्थितिज ऊर्जा (potential energy) _______।

Question

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The correct answer is A: निकाय के किसी भी विन्यास (configuration) के लिए परिभाषित की जा सकती है. स्थितिज ऊर्जा एक अदिश राशि है जिसे केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित किया जाता है, जहाँ किया गया कार्य केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। चूंकि किया गया कार्य अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ को निकाय के क्षेत्र में किसी भी विन्यास $(x, y, z)$ के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
स्थितिज ऊर्जा एक अदिश राशि है जिसे केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित किया जाता है, जहाँ किया गया कार्य केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। चूंकि किया गया कार्य अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ को निकाय के क्षेत्र में किसी भी विन्यास $(x, y, z)$ के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

Working Principle: एक संरक्षी बल $\vec{F}$ के लिए, किया गया कार्य $W$, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का ऋणात्मक मान होता है, जिसे $W = -\Delta U$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। गणितीय रूप से, यह तब मौजूद होता है यदि बल क्षेत्र का कर्ल (curl) शून्य हो, अर्थात $
abla 	imes \vec{F} = 0$। यह एक पथ-स्वतंत्र स्थितिज फलन $U(r)$ की अनुमति देता है जिससे $\vec{F} = -
abla U$ होता है।

Key Formulas: $W = -\Delta U$ — कार्य और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बीच संबंध; $\vec{F} = -
abla U$ — संरक्षी बल, स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के रूप में

Key Points: संरक्षी बल पथ-स्वतंत्र होते हैं।; असंरक्षी बल (जैसे घर्षण) ऊर्जा को ऊष्मा के रूप में नष्ट करते हैं और उन्हें एक साधारण अदिश स्थितिज ऊर्जा फलन द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।; केवल संरक्षी बलों वाले निकायों में कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U$ संरक्षित रहती है।

Advantages: गतिशीलता (dynamics) में गणनाओं को सरल बनाता है।; यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम की अनुमति देता है।

Disadvantages: गतिक घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे असंरक्षी बलों पर लागू नहीं होता है।

Applications: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की समस्याएं; स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा (Electrostatic potential energy) गणनाएं

Additional Info: विकल्प B गलत है क्योंकि घर्षण एक असंरक्षी बल है।. विकल्प C गलत है क्योंकि स्थितिज ऊर्जा सापेक्ष होती है और एक संदर्भ बिंदु द्वारा परिभाषित होती है, जरूरी नहीं कि वह शून्य हो।. विकल्प D गलत है क्योंकि संरक्षी बल पथ-स्वतंत्र होते हैं, न कि पथ-निर्भर।

Answer: A सही है — स्थितिज ऊर्जा संरक्षी बल क्षेत्रों के लिए स्थिति का एक अच्छी तरह से परिभाषित अदिश फलन है, जो उस विन्यास तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है।

Exam Tip: प्रतियोगी भौतिकी में, यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण लागू करने से पहले हमेशा जांचें कि क्या बल संरक्षी है (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्प्रिंग बल)।

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Option B: घर्षण द्वारा किए गए कार्य पर निर्भर करती है

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Option C: शून्य होती है

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Option D: पथ पर निर्भर होती है

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