जब स्प्रिंग के विस्थापन को उसके मूल मान से आधा कर दिया जाता है, और स्प्रिंग नियतांक अपरिवर्तित रहता है, तो स्प

Question

जब स्प्रिंग के विस्थापन को उसके मूल मान से आधा कर दिया जाता है, और स्प्रिंग नियतांक अपरिवर्तित रहता है, तो स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा (potential energy) का क्या होता है?

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The correct answer is B: यह अपने मूल मान के 1/4 तक घट जाती है. स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा सीधे उसके विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है। जब विस्थापन आधा हो जाता है, तो वर्ग संबंध के कारण ऊर्जा मूल मान का एक-चौथाई हो जाती है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा सीधे उसके विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है। जब विस्थापन आधा हो जाता है, तो वर्ग संबंध के कारण ऊर्जा मूल मान का एक-चौथाई हो जाती है।

Working Principle: स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा ($U$) की गणना सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है। चूँकि $U \propto x^2$, यदि नया विस्थापन $x' = \frac{x}{2}$ हो, तो नई स्थितिज ऊर्जा $U' = \frac{1}{2} k (\frac{x}{2})^2 = \frac{1}{2} k (\frac{x^2}{4}) = \frac{1}{4} U$ होगी।

Key Formulas: $U = \frac{1}{2} k x^2$ — स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा; $U \propto x^2$ — ऊर्जा और विस्थापन के बीच संबंध

Key Points: स्थितिज ऊर्जा एक अदिश राशि है।; स्प्रिंग नियतांक $k$ स्प्रिंग की सामग्री और ज्यामिति पर निर्भर करता है।; विस्थापन $x$ को प्राकृतिक, बिना खींची गई स्थिति से मापा जाता है।

Advantages: स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणालियों में किए गए कार्य की गणना के लिए उपयोगी।; सरल आवर्त गति (SHM) को समझने के लिए महत्वपूर्ण।

Applications: यांत्रिक घड़ी की गति; वाहन निलंबन प्रणाली

Additional Info: स्थितिज ऊर्जा की SI इकाई जूल ($J$) है।. विकल्प A गलत है क्योंकि यह विस्थापन पर द्विघातीय निर्भरता की उपेक्षा करता है।. विकल्प C गलत है क्योंकि यह वर्ग के बजाय एक रैखिक व्युत्क्रम संबंध मान लेता है।. विकल्प D गलत है क्योंकि जब भी स्प्रिंग की स्थिति बदलती है तो स्थितिज ऊर्जा बदलती है।

Answer: B सही है — चूँकि स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है, इसलिए विस्थापन को आधा करने पर ऊर्जा मूल ऊर्जा के $1/4$ तक कम हो जाती है।

Exam Tip: किसी भी भौतिकी समस्या में जिसमें 'वर्ग' संबंध शामिल हो (जैसे $E = \frac{1}{2}mv^2$ या $U = \frac{1}{2}kx^2$), बदलाव की गणना करने से पहले हमेशा चर की घात की जाँच करें।

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Option A: यह अपने मूल मान के 1/2 तक घट जाती है

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Option C: यह अपने मूल मान की 2 गुना बढ़ जाती है

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Option D: यह अपरिवर्तित रहती है

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