मोमेंट एरिया विधि में, सरल आलंबित बीम (simply supported beam) के समान लोडिंग के कारण खंड पर बेंडिंग मोमेंट आरे

Question

मोमेंट एरिया विधि में, सरल आलंबित बीम (simply supported beam) के समान लोडिंग के कारण खंड पर बेंडिंग मोमेंट आरेख बनाएं, इस आरेख को क्या कहा जाता है

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A: $\mu$-आरेख

Explanation & Concepts:
संरचनात्मक विश्लेषण में, विशेष रूप से जब फिक्स्ड बीम जैसी स्थिर रूप से अनिश्चित (statically indeterminate) बीम का विश्लेषण करने के लिए मोमेंट एरिया विधि का उपयोग किया जाता है, तो बीम को वैचारिक रूप से समान लोडिंग स्थितियों के तहत एक सरल आलंबित बीम के रूप में माना जाता है। इस स्थिति के परिणामस्वरूप प्राप्त बेंडिंग मोमेंट आरेख को $\mu$-आरेख कहा जाता है।

Working Principle: इस सिद्धांत में अध्यारोपण (superposition) शामिल है। हम संरचना पर कार्य करने वाले बाहरी भार के कारण बेंडिंग मोमेंट आरेख की गणना ऐसे करते हैं जैसे कि यह स्थिर रूप से निर्धारित (statically determinate) हो ($\mu$-आरेख), और फिर रिडंडेंट प्रतिक्रियाओं/मोमेंट्स के परिणामस्वरूप बेंडिंग मोमेंट आरेख ($\mu'$-आरेख) को उस पर अध्यारोपित करते हैं। यह अपघटन (decomposition) $\frac{M}{EI}$ आरेख के एकीकरण के माध्यम से बीम के ढलान (slope) और विक्षेपण (deflection) की गणना करने की अनुमति देता है।

Key Formulas: $M = \mu + \mu'$ — कुल बेंडिंग मोमेंट अपघटन जहाँ $\mu$ सरल आलंबित मोमेंट है और $\mu'$ रिडंडेंट मोमेंट है; $	heta_{B/A} = \int_{A}^{B} \frac{M}{EI} dx$ — $\frac{M}{EI}$ आरेख के क्षेत्र का उपयोग करके ढलान परिवर्तन की गणना

Key Points: $\mu$-आरेख एक प्रतिस्थापित सरल आलंबित संरचना पर बाहरी अनुप्रस्थ लोडिंग के कारण होने वाले बेंडिंग मोमेंट को दर्शाता है।; $\mu'$-आरेख फिक्स्ड बीम में अंत मोमेंट्स (रिडंडेंट मोमेंट्स) के कारण होने वाले बेंडिंग मोमेंट को दर्शाता है।; यह विधि ढलान और विक्षेपण को बेंडिंग मोमेंट आरेख के क्षेत्र और सेंट्रोइड से जोड़कर अनिश्चित संरचनाओं को हल करने के लिए अत्यधिक प्रभावी है।

Advantages: संरचनात्मक व्यवहार का दृश्य निरूपण।; ढलान और विक्षेपण के लिए जटिल अंतर समीकरणों को हल करने से बचाती है।

Disadvantages: $\mu$ और $\mu'$ आरेखों की सावधानीपूर्वक पहचान की आवश्यकता होती है।; कई गैर-मानक भार वाली बीम के लिए यह कठिन हो सकता है।

Applications: फिक्स्ड बीम का विश्लेषण; प्रॉप कैंटिलीवर (propped cantilevers) का विश्लेषण; स्थिर रूप से अनिश्चित फ्रेम का विक्षेपण विश्लेषण

Additional Info: $\mu$-आरेख हमेशा केवल बाहरी लोडिंग और स्पैन की ज्यामिति पर निर्भर करता है।. विकल्प B रिडंडेंट बेंडिंग मोमेंट आरेख को संदर्भित करता है, जो सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए $\mu$-आरेख के विपरीत कार्य करता है।

Answer: A सही है — बाहरी लोडिंग के लिए बेंडिंग मोमेंट आरेख जिसे सरल आलंबित बीम माना जाता है, उसे $\mu$-आरेख के रूप में जाना जाता है।

Exam Tip: प्रतियोगी परीक्षाओं में, याद रखें कि $\mu$-आरेख अनिवार्य रूप से निर्धारित समकक्ष हैं; $\mu'$ उन बाधा-प्रेरित मोमेंट्स (जैसे फिक्स्ड-एंड मोमेंट्स) के लिए है जो अनुकूलता सुनिश्चित करते हैं।

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Option B: $\mu'$-आरेख

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Option C: S.F. आरेख

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Option D: इनमें से कोई नहीं

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