L = (g2-g1) /r वर्टिकल (ऊर्ध्वाधर) लंबाई ज्ञात करने का समीकरण है, तो इस समीकरण में 'r' को ______ द्वारा दर्शाय

Question

L = (g2-g1) /r वर्टिकल (ऊर्ध्वाधर) लंबाई ज्ञात करने का समीकरण है, तो इस समीकरण में 'r' को ______ द्वारा दर्शाया जाता है

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A: ग्रेड के परिवर्तन की दर (Rate of change of grade)

Explanation & Concepts:
सर्वेक्षण और राजमार्ग इंजीनियरिंग में, दो प्रतिच्छेदी ढालों (gradients) को सुचारू रूप से जोड़ने के लिए ऊर्ध्वाधर वक्र (vertical curves) प्रदान किए जाते हैं। समीकरण $L = \frac{g_2 - g_1}{r}$ ऊर्ध्वाधर वक्र की लंबाई निर्धारित करता है, जहाँ $r$ प्रति इकाई लंबाई या प्रति चेन ग्रेड के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

Working Principle: ऊर्ध्वाधर वक्र (आमतौर पर परवलयिक) आरामदायक सवारी स्थितियों और पर्याप्त दृष्टि दूरी को बनाए रखने के लिए ऊंचाई में एक क्रमिक परिवर्तन सुनिश्चित करते हैं। वक्र की लंबाई ($L$) ग्रेड में कुल परिवर्तन ($N = g_2 - g_1$) के सीधे आनुपातिक होती है और ग्रेड के परिवर्तन की अधिकतम अनुमेय दर ($r$) के व्युत्क्रमानुपातिक होती है।

Key Formulas: $L = \frac{g_2 - g_1}{r} = \frac{N}{r}$ — ऊर्ध्वाधर वक्र की लंबाई, जहाँ $N$ ग्रेड का कुल परिवर्तन है और $r$ ग्रेड के परिवर्तन की दर है; $N = |g_1 - g_2|$ — ग्रेड में कुल विचलन या परिवर्तन

Key Points: शिखर वक्रों (summit curves) के लिए ग्रेड के परिवर्तन की दर ($r$) आमतौर पर प्रति 20 मीटर या 30 मीटर चेन 0.05% से 0.1% के बीच होती है।; ऊर्ध्वाधर संरेखण (vertical alignment) के लिए परवलयिक वक्रों को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि वे वक्र की पूरी लंबाई के दौरान ग्रेड के परिवर्तन की एक स्थिर दर प्रदान करते हैं।

Advantages: दो अलग-अलग ढालों (gradients) के बीच सुचारू परिवर्तन सुनिश्चित करता है।; अचानक ऊर्ध्वाधर त्वरण को रोककर ड्राइवर के आराम और सुरक्षा में सुधार करता है।

Disadvantages: सुचारू ऊर्ध्वाधर परिवर्तन प्राप्त करने के लिए अधिक भूमि क्षेत्र और मिट्टी के काम (earthwork) की मात्रा की आवश्यकता होती है।; $r$ के कम मूल्यों पर पर्याप्त दृष्टि दूरी के लिए डिज़ाइन करने से निर्माण लागत में काफी वृद्धि हो सकती है।

Applications: राजमार्ग इंजीनियरिंग में शिखर (summit) और घाटी (valley) ऊर्ध्वाधर वक्रों का डिज़ाइन।; रेलवे ट्रैक ढाल परिवर्तन डिज़ाइन।

Additional Info: विकल्प B अंश $(g_2 - g_1)$ का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि बीजगणितीय अंतर या ग्रेड का कुल परिवर्तन ($N$) है।. विकल्प C सर्वेक्षण रेखा के साथ दूरियों को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई लंबाई (जैसे 20 मीटर या 30 मीटर) को संदर्भित करता है, न कि 'r' को।

Answer: A सही है — समीकरण में चर 'r' प्रति इकाई दूरी में ग्रेड के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है।

Exam Tip: GATE और SSC JE जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए, याद रखें कि परवलयिक ऊर्ध्वाधर वक्र ग्रेड के परिवर्तन की एक स्थिर दर ($r = \frac{d^2y}{dx^2}$) बनाए रखते हैं, जो ऊँचाइयों की गणना को सीधा बनाता है।

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Option B: ग्रेड में कुल परिवर्तन (Total change of grade)

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Option C: चेन की लंबाई (Chain length)

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Option D: उपरोक्त सभी (All of the above)

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