मान लीजिए कि $ C_1 $ और $ C_2 $ दो ऐसे वृत्त हैं जो बाहरी रूप से एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करते हैं और न ही काटत

Question

मान लीजिए कि $ C_1 $ और $ C_2 $ दो ऐसे वृत्त हैं जो बाहरी रूप से एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करते हैं और न ही काटते हैं, और $ O_1 $ तथा $ O_2 $ क्रमशः इन वृत्तों के केंद्र हैं। मान लीजिए $ AB $ वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा (common transverse tangent) है, जिसके स्पर्श बिंदु क्रमशः $ C_1 $ पर $ P $ और $ C_2 $ पर $ Q $ हैं। मान लीजिए $ R $, $ O_1O_2 $ और $ AB $ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि $\angle PO_1R = 60^\circ $ है, तो क्रमशः $\angle QO_2R $ और $\angle QRO_2 $ ज्ञात कीजिए।

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is D: $60^\circ$ और $30^\circ$. उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखाओं के मामले में, केंद्रों, स्पर्श बिंदुओं और केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा बनाए गए त्रिभुज समरूप होते हैं, इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखाओं के मामले में, केंद्रों, स्पर्श बिंदुओं और केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा बनाए गए त्रिभुज समरूप होते हैं, इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।

Formula Used: $$\Delta O_1PR \sim \Delta O_2QR$$

Given: दो वृत्त $C_1, C_2$ जिनके केंद्र $O_1, O_2$ हैं और उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखा $AB$ है जो $P$ और $Q$ पर स्पर्श करती है। तिर्यक स्पर्शरेखा $AB$, $O_1O_2$ को $R$ पर मिलती है। दिया है $\angle PO_1R = 60^\circ$।

Steps: स्पर्शरेखा गुणों का विश्लेषण: चूंकि $AB$, $C_1$ पर $P$ पर एक स्पर्शरेखा है, इसलिए $O_1P \perp AB$। इसी प्रकार, $O_2Q \perp AB$। अतः, $\angle O_1PR = \angle O_2QR = 90^\circ$।. समानता स्थापित करना: त्रिभुज $\Delta O_1PR$ और $\Delta O_2QR$ में $R$ पर शीर्षाभिमुख कोण समान हैं ($\angle O_1RP = \angle O_2RQ$)। अतः, AA समानता के अनुसार $\Delta O_1PR \sim \Delta O_2QR$।. कोणों की गणना: दिया है $\angle PO_1R = 60^\circ$, समकोण $\Delta O_1PR$ में, $\angle PRO_1 = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$। चूंकि $\Delta O_1PR \sim \Delta O_2QR$, इसलिए $\angle QO_2R = \angle PO_1R = 60^\circ$ और $\angle QRO_2 = \angle PRO_1 = 30^\circ$।

Answer: D सही है क्योंकि दो समकोण त्रिभुजों की समानता यह सुनिश्चित करती है कि संगत कोण दिए गए $60^\circ$ और व्युत्पन्न $30^\circ$ के बराबर हैं।

Exam Tip: समरूप त्रिभुज बनाने वाले तिर्यक स्पर्शरेखाओं का यह गुण अनुस्पर्शरेखाओं (common direct tangents) के गुणों के अनुरूप है और जटिल ज्यामिति निर्देशांक समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

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Option A: $45^\circ$ और $45^\circ$

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Option B: $20^\circ$ और $70^\circ$

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Option C: $40^\circ$ और $50^\circ$

Correct Answer

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