व्यंजक को सरल कीजिए: $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}... | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

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MathematicsTrigonometry

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व्यंजक को सरल कीजिए: $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}$ का मान है:

$\csc \theta + \cot \theta$

$\sec \theta + \tan \theta$

$\csc \theta - \cot \theta$

$\sec \theta - \tan \theta$

Correct Answer

📐 MA • Math प्रत्यक्ष सूत्रMathematicsTrigonometry

$\sec \theta - \tan \theta$

Quick Summary:

अंश में एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए अंश और हर को $(1 + \cos\theta)$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें।

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📐MAMath Solutionप्रत्यक्ष सूत्र

📋 Given

सरल करने के लिए व्यंजक: $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}$

🔢 Formula Used

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,csc⁡θ=1sin⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}sin2θ+cos2θ=1,cscθ=sinθ1​,cotθ=sinθcosθ​

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

यह भूल जाना कि $\sqrt{(1+\cos\theta)^2} = 1 + \cos\theta$ है और परिणामी भिन्न को त्रिकोणमितीय अनुपातों में विभाजित करने में विफल रहना।

🔢 Step-by-Step Solution

चरण 1: हर का परिमेयकरण करें

हर में से वर्गमूल चिह्न को हटाने के लिए वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $(1 + \cos\theta)$ से गुणा करें।

(1+cos⁡θ)(1+cos⁡θ)(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)=(1+cos⁡θ)21−cos⁡2θ\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}}(1−cosθ)(1+cosθ)(1+cosθ)(1+cosθ)​​=1−cos2θ(1+cosθ)2​​

चरण 2: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लागू करें

हर में मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ का प्रयोग करें।

(1+cos⁡θ)2sin⁡2θ\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}sin2θ(1+cosθ)2​​

चरण 3: वर्गमूल निकालें

अंश और हर दोनों का वर्गमूल लें।

1+cos⁡θsin⁡θ\frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}sinθ1+cosθ​

चरण 4: मानक अनुपातों में विभाजित करें

भिन्न को दो अलग-अलग पदों के योग के रूप में व्यक्त करें: $\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ ।

csc⁡θ+cot⁡θ\csc\theta + \cot\thetacscθ+cotθ

✅

D सही है क्योंकि परिमेयकरण और मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल करने पर \csc $\theta +$ \cot $\theta$ प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ परिमेयकरण व्युत्क्रम अनुपात

💡 EXAM TIP

अनिर्धारित रूपों को हल करने के लिए कलन (कैल्क्यूलस) और बीजगणितीय सीमाओं में भी परिमेयकरण तकनीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

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