यदि $\theta $ एक न्यून कोण है, तो हर $ D $ का मान ज्ञात कीजिए,... | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

MathematicsTrigonometry

यदि $\theta$ एक न्यून कोण है, तो हर $D$ का मान ज्ञात कीजिए, जब $(\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 = \frac{1 - \cos \theta}{D}$

$1 + \sin \theta$

$-\sin \theta - 1$

$-1 - \cos \theta$

$1 + \cos \theta$

Correct Answer

📐 MA • Math प्रत्यक्ष सूत्रMathematicsTrigonometry

$1 + \cos \theta$

Quick Summary:

सभी पदों को साइन और कोसाइन अनुपातों में बदलें, मानकीकृत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अंश और हर को सरल करें, और प्राप्त भिन्न की तुलना लक्ष्य रूप से करें।

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📐MAMath Solutionप्रत्यक्ष सूत्र

📋 Given

व्यंजक: $(\cot\theta - \csc\theta)^2 = \frac{1 - \cos\theta}{D}$ , जहाँ $\theta$ एक न्यून कोण है।

🔢 Formula Used

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ,sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1cotθ=sinθcosθ​,cscθ=sinθ1​,sin2θ+cos2θ=1

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

हर के चिह्न में भ्रमित होना या हर वाले पद का ध्यान रखे बिना $(\cos\theta - 1)^2$ का $(1 - \cos\theta)^2$ के रूप में गलत प्रसार करना।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

चरण 1: साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करें

दिए गए व्यंजक में $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ और $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ प्रतिस्थापित करें।

(cot⁡θ−csc⁡θ)2=(cos⁡θsin⁡θ−1sin⁡θ)2=(cos⁡θ−1sin⁡θ)2(\cot\theta - \csc\theta)^2 = \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta}\right)^2 = \left(\frac{\cos\theta - 1}{\sin\theta}\right)^2(cotθ−cscθ)2=(sinθcosθ​−sinθ1​)2=(sinθcosθ−1​)2

चरण 2: अंश और हर दोनों का वर्ग करें

अंश और हर दोनों का वर्ग करें, यह ध्यान रखते हुए कि $(\cos\theta - 1)^2 = (1 - \cos\theta)^2$ होता है।

=(cos⁡θ−1)2sin⁡2θ=(1−cos⁡θ)2sin⁡2θ=\frac{(\cos\theta - 1)^2}{\sin^2\theta} = \frac{(1 - \cos\theta)^2}{\sin^2\theta}=sin2θ(cosθ−1)2​=sin2θ(1−cosθ)2​

चरण 3: मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें

सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ का उपयोग करके हर में $\sin^2\theta$ को $1 - \cos^2\theta$ से बदलें।

=(1−cos⁡θ)21−cos⁡2θ=\frac{(1 - \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}=1−cos2θ(1−cosθ)2​

चरण 4: हर का गुणनखंड करें और सरल करें

हर $1 - \cos^2\theta$ का $(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)$ के रूप में गुणनखंड करें और उभयनिष्ठ पद $(1 - \cos\theta)$ को निरस्त करें।

=(1−cos⁡θ)2(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)=1−cos⁡θ1+cos⁡θ=\frac{(1 - \cos\theta)^2}{(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}=(1−cosθ)(1+cosθ)(1−cosθ)2​=1+cosθ1−cosθ​

चरण 5: हर D की पहचान करें

सरलीकृत व्यंजक $\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}$ की तुलना दिए गए रूप $\frac{1 - \cos\theta}{D}$ से करने पर, हमें $D = 1 + \cos\theta$ प्राप्त होता है।

D=1+cos⁡θD = 1 + \cos\thetaD=1+cosθ

✅

D सही है क्योंकि $(\cot\theta - \csc\theta)^2$ को सरल करने पर $\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}$ प्राप्त होता है, जो हर $D = 1 + \cos\theta$ के साथ $\frac{1 - \cos\theta}{D}$ के रूप से मेल खाता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ व्युत्क्रम अनुपात बीजगणितीय सरलीकरण

💡 EXAM TIP

समान त्रिकोणमितीय रूपांतरण अक्सर ऊंचाई और दूरी के प्रश्नों में दिखाई देते हैं

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