वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि होने वाली चक्रवृद्धि ब्याज की एक निश्चित दर पर कोई धनराशि 12 वर्षों में स्वयं की दोग

Question

वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि होने वाली चक्रवृद्धि ब्याज की एक निश्चित दर पर कोई धनराशि 12 वर्षों में स्वयं की दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह स्वयं की आठ गुनी हो जाएगी?

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is A: 36. यदि कोई राशि $t_1$ वर्षों में $n_1$ गुना हो जाती है, तो वह $t_1 	imes k$ वर्षों में $n_1^k$ गुना हो जाएगी। यहाँ, $8 = 2^3$, इसलिए $k = 3$ है। अतः, अभीष्ट समय $12 	imes 3 = 36$ वर्ष है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: यदि कोई राशि $t_1$ वर्षों में $n_1$ गुना हो जाती है, तो वह $t_1 	imes k$ वर्षों में $n_1^k$ गुना हो जाएगी। यहाँ, $8 = 2^3$, इसलिए $k = 3$ है। अतः, अभीष्ट समय $12 	imes 3 = 36$ वर्ष है।

Formula Used: $$t_2 = t_1 	imes \frac{\log(n_2)}{\log(n_1)}$$

Given: वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई धनराशि 12 वर्षों में दोगुनी हो जाती है। हमें इसके स्वयं का 8 गुना होने के लिए समय (वर्षों में) ज्ञात करना है।

Steps: चरण 1: चक्रवृद्धि ब्याज के संबंध को समझें: यदि कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज के तहत $t$ वर्षों में $n$ गुना हो जाती है, तो $N$ वर्षों के बाद मिश्रधन सूत्र $A = P(1 + r)^N$ द्वारा दिया जाता है।. चरण 2: दी गई स्थिति को व्यक्त करें: दिया गया है कि राशि $12$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है, हम लिख सकते हैं $2P = P(1 + r)^{12}$, जिसे सरल करने पर प्राप्त होता है: $$(1 + r)^{12} = 2$$. चरण 3: लक्ष्य स्थिति को व्यक्त करें: हमें राशि को स्वयं का $8$ गुना करना है। माना अभीष्ट समय $T$ वर्ष है। इस प्रकार, $8P = P(1 + r)^T$, जिसे सरल करने पर प्राप्त होता है: $$(1 + r)^T = 8$$. चरण 4: $T$ के लिए हल करें: चूँकि $8 = 2^3$, समीकरण में $(1 + r)^{12} = 2$ का मान रखें: $$(1 + r)^T = (2)^3 = ((1 + r)^{12})^3 = (1 + r)^{36}$$ इसलिए, $T = 36$ वर्ष।

Answer: A सही है क्योंकि राशि $3 	imes 12 = 36$ वर्षों में स्वयं की 8 गुना ($2^3$) हो जाती है।

Exam Tip: इस चरघातांकी चक्रवृद्धि गुण का उपयोग विज्ञान में रेडियोधर्मी अर्ध-आयु क्षय समस्याओं और जीवाणु जनसंख्या वृद्धि गणनाओं में समान रूप से किया जाता है।

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