यदि एक सम बहुभुज में 20 विकर्ण हैं, तो इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या है:

Question

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: 8. दिए गए विकल्पों को विकर्ण के सूत्र में रखें: n = 8 के लिए, \frac{8(5)}{2} = 20, जो दिए गए विकर्णों की संख्या से मेल खाता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: दिए गए विकल्पों को विकर्ण के सूत्र में रखें: n = 8 के लिए, \frac{8(5)}{2} = 20, जो दिए गए विकर्णों की संख्या से मेल खाता है।

Formula Used: $$	ext{विकर्णों की संख्या} = \frac{n(n - 3)}{2}$$

Given: एक सम बहुभुज के विकर्णों की संख्या = 20

Steps: n-भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों का सूत्र लिखें: एक $n$-भुजाओं वाले बहुभुज में कुल विकर्णों की संख्या, एक बार में 2 शीर्षों को चुनने और भुजाओं की संख्या को घटाने के संबंध द्वारा दी जाती है: $$	ext{विकर्ण} = \frac{n(n - 3)}{2}$$. द्विघात समीकरण बनाएं: यह देखते हुए कि बहुभुज में $20$ विकर्ण हैं, हम सूत्र को $20$ के बराबर रखते हैं: $$\frac{n(n - 3)}{2} = 20$$. n के लिए समीकरण को हल करें: हर (denominator) को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें: $$n(n - 3) = 40$$ $$n^2 - 3n - 40 = 0$$ द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $$(n - 8)(n + 5) = 0$$ चूंकि भुजाओं की संख्या धनात्मक होनी चाहिए ($n > 0$), हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।

Answer: C सही है क्योंकि विकर्ण के सूत्र में n = 8 रखने पर \frac{8(8-3)}{2} = 20 विकर्ण प्राप्त होते हैं, जो दी गई शर्त से मेल खाता है।

Exam Tip: इसी प्रकार के संचय (combination) सूत्रों का उपयोग ग्राफ थ्योरी में एक पूर्ण ग्राफ (complete graph) $K_n$ में कोर (edges) की संख्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जो $\frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।

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