दो संकेंद्रित वृत्तों के व्यास $ 34\text{ cm}$ और $ 50\text{ c... | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

MathematicsPrevious Year Paper 2024

दो संकेंद्रित वृत्तों के व्यास $34\text{ cm}$ और $50\text{ cm}$ हैं। एक सीधी रेखा, CAPF, बड़े वृत्त को C और F बिंदुओं पर काटती है और छोटे वृत्त को A और P बिंदुओं पर काटती है। यदि $AP = 16\text{ cm}$ है, तो CF की लंबाई ज्ञात कीजिए।

34 सेमी

50 सेमी

30 सेमी

40 सेमी

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsPrevious Year Paper 2024

40 सेमी

Quick Summary:

इस गुणधर्म का उपयोग करें कि दो संकेंद्रित वृत्तों को काटने वाली एक रेखा को छोटे वृत्त की त्रिज्या द्वारा लंबवत रूप से समद्विभाजित किया जाता है। केंद्र से जीवा तक की दूरी $d = \sqrt{r^2 - 8^2}$ है।

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📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

बड़े वृत्त का व्यास = 50 सेमी, छोटे वृत्त का व्यास = 34 सेमी। छोटे वृत्त पर रेखाखंड AP = 16 सेमी। रेखा CAPF दोनों वृत्तों को काटती है।

🔢 Formula Used

R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2R2=r2+d2, CF=2×R2−d2CF = 2 \times \sqrt{R^2 - d^2}CF=2×R2−d2​

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⚠️ Common Student Trap / Pitfall

पाइथागोरस प्रमेय की गणना में त्रिज्याओं (17 और 25) के बजाय व्यासों (34 और 50) का उपयोग करना।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

त्रिज्याओं की गणना करें

त्रिज्याएँ व्यासों की आधी होती हैं: $R = 50/2 = 25$ सेमी और $r = 34/2 = 17$ सेमी।

R=25,r=17R = 25, r = 17R=25,r=17

केंद्र से जीवा तक की दूरी ज्ञात करें

रेखाखंड $AP$ छोटे वृत्त की एक जीवा है जिसकी लंबाई 16 सेमी है। केंद्र से इस जीवा तक की लंबवत दूरी $d$ इसे समद्विभाजित करती है ( $8$ सेमी) और त्रिज्या $r$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है।

d=172−82=289−64=15d = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15d=172−82​=289−64​=15

CF की लंबाई की गणना करें

दूरी $d$ केंद्र से बड़े वृत्त की जीवा $CF$ तक की भी दूरी है। बड़े वृत्त के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $CF/2 = \sqrt{R^2 - d^2}$ ।

CF=2×252−152=2×20=40CF = 2 \times \sqrt{25^2 - 15^2} = 2 \times 20 = 40CF=2×252−152​=2×20=40

✅

D सही है क्योंकि संकेंद्रित वृत्तों में लंबवत समद्विभाजक के गुण का उपयोग करके जीवा की लंबाई 40 सेमी प्राप्त होती है।

Core Concepts Used

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संकेंद्रित वृत्त पाइथागोरस प्रमेय जीवा के गुण

💡 EXAM TIP

यह गुणधर्म निर्देशांक ज्यामिति में रेखाओं और वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए आवश्यक है।

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