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MathematicsTrigonometry

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यदि किसी मीनार की ऊँचाई उसकी परछाई की $\sqrt{3}$ गुनी है, तो मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण किसके बराबर है:

30°

45°

60°

90°

Correct Answer

📐 MA • Math त्रिकोणमितीय अनुपातMathematicsTrigonometry

60°

Quick Summary:

एक 30-60-90 त्रिभुज में, 60° के सम्मुख भुजा हमेशा 30° के सम्मुख भुजा की $\sqrt{3}$ गुनी होती है। चूंकि ऊँचाई परछाई की $\sqrt{3}$ गुनी है, इसलिए उन्नयन कोण स्वतः ही 60° होगा।

📐MAMath Solutionत्रिकोणमितीय अनुपात

📋 Given

मीनार की ऊँचाई (h) = $\sqrt{3} *$ परछाई की लंबाई (s)। मान लीजिए s = x, तो h = x $\sqrt{3}$ है।

🔢 Formula Used

tan⁡(θ)=लंबआधार=hs\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{h}{s}tan(θ)=आधारलंब​=sh​

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर अनुपात को उलट देते हैं और $\tan(\theta) = 1/\sqrt{3}$ की गणना कर लेते हैं, जिससे 60° के बजाय 30° उत्तर आता है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

चर परिभाषित करें

मान लीजिए परछाई की लंबाई $x$ है और मीनार की ऊँचाई $h$ है। दिया गया है $h = x\sqrt{3}$ ।

h=x3h = x\sqrt{3}h=x3​

त्रिकोणमितीय अनुपात लागू करें

मीनार और उसकी परछाई से बने समकोण त्रिभुज में, उन्नयन कोण $\theta$ स्पर्शज्या (tangent) अनुपात को संतुष्ट करता है।

tan⁡(θ)=hx\tan(\theta) = \frac{h}{x}tan(θ)=xh​

प्रतिस्थापित करें और हल करें

समीकरण में $h = x\sqrt{3}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\tan(\theta) = \frac{x\sqrt{3}}{x} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

tan⁡(θ)=3\tan(\theta) = \sqrt{3}tan(θ)=3​

कोण ज्ञात करें

चूंकि $\tan(60°) = \sqrt{3}$ है, इसलिए $\theta$ का मान $60°$ है।

θ=60°\theta = 60°θ=60°

✅

C सही है क्योंकि ऊँचाई और परछाई का अनुपात $\sqrt{3}$ होने पर $\tan(\theta) = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\theta = 60$ ° है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय अनुपात उन्नयन कोण समकोण त्रिभुज के गुण

💡 EXAM TIP

यह अवधारणा निर्देशांक ज्यामिति और नेविगेशन समस्याओं में 'ऊँचाई और दूरी' के लिए आधार है, जहाँ समान अनुपात ढलान को परिभाषित करते हैं।

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